Номер 44.26, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.26. a) $y = \arcsin x^2$;

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

в) $y = \arccos \sqrt{x}$;

г) $y = \operatorname{arcctg}^2 x$.

а) Дана функция $y = \arcsin x^2$. Это сложная функция, для нахождения ее производной необходимо применить правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это арксинус, а внутренняя — степенная функция $x^2$.
Нам понадобятся следующие формулы производных:
1. Производная арксинуса: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Применим эти формулы. Пусть $u = x^2$. Тогда $u' = (x^2)' = 2x$.
$y' = (\arcsin x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
Ответ: $y' = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

б) Дана функция $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$. Это сложная функция, где внешняя функция — арккотангенс, а внутренняя — квадратный корень. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
Формулы производных:
1. Производная арккотангенса: $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.
2. Производная квадратного корня: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Пусть $u = \sqrt{x}$. Тогда $u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (\operatorname{arcctg} \sqrt{x})' = -\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = -\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

в) Дана функция $y = \arccos \sqrt{x}$. Это сложная функция. Внешняя функция — арккосинус, внутренняя — квадратный корень.
Формулы производных:
1. Производная арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
2. Производная квадратного корня: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Пусть $u = \sqrt{x}$. Тогда $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (\arccos \sqrt{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

г) Дана функция $y = \operatorname{arctg}^2 x$. Эту запись следует понимать как $y = (\operatorname{arctg} x)^2$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная ($u^2$), а внутренняя — арктангенс.
Формулы производных:
1. Производная степенной функции: $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$.
2. Производная арктангенса: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
Пусть $u = \operatorname{arctg} x$. Тогда $y = u^2$.
$y' = (u^2)' = 2u \cdot u' = 2(\operatorname{arctg} x) \cdot (\operatorname{arctg} x)' = 2\operatorname{arctg} x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2\operatorname{arctg} x}{1+x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1+x^2}$