Номер 44.19, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.19. a) $y = 7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$.

а) Для исследования функции $y = 7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$ на монотонность и наличие экстремумов, найдем ее производную.

Производная функции $y(x)$ равна: $y'(x) = (7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x)' = 7(-\sin x) - 5(\cos 3x) \cdot 3 - 22 = -7 \sin x - 15 \cos 3x - 22$.

Теперь проанализируем знак производной $y'(x)$. Функции синус и косинус являются ограниченными, их значения лежат в диапазоне от -1 до 1: $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos 3x \le 1$. Следовательно, для слагаемых в выражении производной верны следующие оценки: $-7 \le -7 \sin x \le 7$ $-15 \le -15 \cos 3x \le 15$

Оценим максимальное значение суммы тригонометрических членов: $-7 \sin x - 15 \cos 3x \le |-7 \sin x| + |-15 \cos 3x| \le 7 \cdot 1 + 15 \cdot 1 = 22$. Равенство в этом выражении, то есть $-7 \sin x - 15 \cos 3x = 22$, могло бы быть достигнуто только в том случае, если слагаемые одновременно принимают свои максимальные значения. Это эквивалентно системе уравнений: $\begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases}$ Из первого уравнения следует, что $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для любого целого $k$. Подставим это значение $x$ во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно: $\cos(3x) = \cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$. Получаем противоречие $0 = -1$. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, одновременное выполнение условий невозможно. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется строгое неравенство: $-7 \sin x - 15 \cos 3x < 22$.

Теперь мы можем определить знак производной: $y'(x) = (-7 \sin x - 15 \cos 3x) - 22 < 22 - 22 = 0$. Так как $y'(x) < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Следовательно, у функции нет точек локального максимума или минимума.

Ответ: Функция является строго убывающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ и не имеет экстремумов.

б) Рассмотрим функцию $y = 3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Для ее исследования найдем производную.

Производная функции $y(x)$ равна: $y'(x) = (3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1)' = 3(-\sin 7x) \cdot 7 - 8(\cos \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} - 25 = -21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} - 25$.

Проанализируем знак производной $y'(x)$. Воспользуемся тем, что функции $\sin 7x$ и $\cos \frac{x}{2}$ ограничены: $-1 \le \sin 7x \le 1$ и $-1 \le \cos \frac{x}{2} \le 1$. Отсюда следуют оценки для слагаемых: $-21 \le -21 \sin 7x \le 21$ $-4 \le -4 \cos \frac{x}{2} \le 4$

Оценим сверху сумму тригонометрических членов производной: $-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} \le |-21 \sin 7x| + |-4 \cos \frac{x}{2}| \le 21 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 25$. Равенство $-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} = 25$ возможно только при одновременном выполнении условий: $\begin{cases} \sin 7x = -1 \\ \cos \frac{x}{2} = -1 \end{cases}$ Из второго уравнения получаем $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k$, что дает $x = 2\pi + 4\pi k = 2\pi(1+2k)$ для любого целого $k$. Подставим найденные значения $x$ в первое уравнение: $\sin(7x) = \sin(7(2\pi + 4\pi k)) = \sin(14\pi + 28\pi k) = \sin(2\pi \cdot (7+14k)) = 0$. Мы пришли к противоречию $0 = -1$. Это означает, что система не имеет решений. Следовательно, для любого действительного $x$ имеет место строгое неравенство: $-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2} < 25$.

Это позволяет нам определить знак производной: $y'(x) = (-21 \sin 7x - 4 \cos \frac{x}{2}) - 25 < 25 - 25 = 0$. Поскольку $y'(x) < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, функция $y(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Таким образом, у функции нет экстремумов (максимумов или минимумов).

Ответ: Функция является строго убывающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ и не имеет экстремумов.