Номер 44.18, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.18. a) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ на $(-2; +\infty);

б) $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ на $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

а)

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ на монотонность на промежутке $(-2; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак производной на этом интервале.

Область определения функции задается условием $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Данный в условии промежуток $(-2; +\infty)$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{3x + 7}{x + 2}\right)' = \frac{(3x + 7)'(x + 2) - (3x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2}$

$y' = \frac{3(x + 2) - (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$

Проанализируем знак полученной производной. Знаменатель $(x + 2)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq -2$). Числитель равен -1, он всегда отрицателен.

Следовательно, производная $y' = \frac{-1}{(x + 2)^2}$ отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения, включая интервал $(-2; +\infty)$.

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.

б)

Чтобы исследовать функцию $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ на монотонность на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{2})$, найдем ее производную.

Область определения функции задается условием $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{2}$. Данный в условии промежуток $(-\infty; -\frac{1}{2})$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{-4x + 1}{2x + 1}\right)' = \frac{(-4x + 1)'(2x + 1) - (-4x + 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2}$

$y' = \frac{-4(2x + 1) - (-4x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x - 4 - (-8x + 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x - 4 + 8x - 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$

Проанализируем знак производной. Знаменатель $(2x + 1)^2$ всегда положителен при $x \neq -\frac{1}{2}$. Числитель равен -6, он всегда отрицателен.

Таким образом, производная $y' = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$ отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

Поскольку производная отрицательна на заданном промежутке, функция на этом промежутке убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{2})$.