Номер 44.17, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что заданная функция убывает:

44.17. a) $y = -x^3 - 5x + 3$ на $(-\\infty; +\\infty);

б) $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ на $(-\\infty; +\\infty);

в) $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ на $(-\\infty; +\\infty);

г) $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ на $(-\\infty; +\\infty).

Для доказательства того, что функция убывает на заданном промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке неположительна ( $y' \le 0$ ) и обращается в ноль лишь в отдельных точках. Если производная строго отрицательна ( $y' < 0$ ), то функция строго убывает.

а) $y = -x^3 - 5x + 3$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - 5x + 3)' = -3x^2 - 5$.

2. Проанализируем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $-3x^2 \le 0$.

Следовательно, $y' = -3x^2 - 5 \le 0 - 5 = -5$.

Так как производная $y'$ всегда строго отрицательна ( $y' < 0$ ) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -3x^2 - 5$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -x^3 - 5x + 3$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-2x^5 - 7x^3 - x + 8)' = -10x^4 - 21x^2 - 1$.

2. Проанализируем знак производной. Выражения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.

Поэтому $-10x^4 \le 0$ и $-21x^2 \le 0$.

Тогда $y' = -10x^4 - 21x^2 - 1 \le 0 + 0 - 1 = -1$.

Так как производная $y'$ всегда строго отрицательна ( $y' < 0$ ) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -10x^4 - 21x^2 - 1$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -2x^5 - 7x^3 - x + 8$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 + 3x^2 - 6x + 1)' = -3x^2 + 6x - 6$.

2. Проанализируем знак производной. Производная является квадратичной функцией. Чтобы определить ее знак, выделим полный квадрат:

$y' = -3(x^2 - 2x) - 6 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 6 = -3(x-1)^2 + 3 - 6 = -3(x-1)^2 - 3$.

Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-3(x-1)^2 \le 0$.

Следовательно, $y' = -3(x-1)^2 - 3 \le 0 - 3 = -3$.

Поскольку производная $y'$ всегда строго отрицательна ( $y' < 0$ ) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -3x^2 + 6x - 6$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -x^3 + 3x^2 - 6x + 1$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ на $(-\infty; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-4x^3 + 4x^2 - 2x + 9)' = -12x^2 + 8x - 2$.

2. Проанализируем знак производной. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Старший коэффициент $a = -12$ отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-12x^2 + 8x - 2$:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(-12)(-2) = 64 - 96 = -32$.

Так как дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ) и ветви параболы направлены вниз, вся парабола лежит ниже оси абсцисс. Это означает, что $y' < 0$ для всех действительных значений $x$.

Поскольку производная всегда отрицательна, функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = -12x^2 + 8x - 2$ отрицательна при всех значениях $x$, следовательно, функция $y = -4x^3 + 4x^2 - 2x + 9$ убывает на интервале $(-\infty; +\infty)$.