Номер 44.13, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что заданная функция возрастает:

44.13. a) $y = x^5 + 3x - 6$ на $(-\infty; +\infty);

б) $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0);

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ на $(-\infty; +\infty);

г) $y = 21x - \frac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty).

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном промежутке, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна (или строго положительна) на этом промежутке. Если производная функции $f'(x) \geq 0$ для всех $x$ из промежутка (причем $f'(x) = 0$ лишь в отдельных точках), то функция возрастает на этом промежутке. Если $f'(x) > 0$, то функция строго возрастает.

а) $y = x^5 + 3x - 6$ на $(-\infty; +\infty)$

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^5 + 3x - 6)' = 5x^4 + 3$.

Проанализируем знак производной. Так как $x^4$ является четной степенью, то $x^4 \geq 0$ для любого действительного числа $x$.

Следовательно, $5x^4 \geq 0$.

Тогда $y' = 5x^4 + 3 \geq 0 + 3 = 3$.

Поскольку производная $y' > 0$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; +\infty)$, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $y' = 5x^4 + 3$ всегда положительна, следовательно, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 15 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^3}$ на $(-\infty; 0)$

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенных функций: $y = 15 - 2x^{-1} - x^{-3}$.

Найдем производную функции:

$y' = (15 - 2x^{-1} - x^{-3})' = 0 - 2(-1)x^{-2} - (-3)x^{-4} = 2x^{-2} + 3x^{-4}$.

Запишем производную в виде дробей:

$y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$.

На промежутке $(-\infty; 0)$ переменная $x$ не равна нулю. Выражения $x^2$ и $x^4$ всегда положительны при $x \neq 0$.

Следовательно, оба слагаемых $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{3}{x^4}$ являются положительными. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Таким образом, $y' > 0$ на промежутке $(-\infty; 0)$, а значит функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$ положительна на интервале $(-\infty; 0)$, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x - 42$ на $(-\infty; +\infty)$

Найдем производную функции:

$y' = (x^7 + 7x^3 + 2x - 42)' = 7x^6 + 21x^2 + 2$.

Проанализируем знак производной. Выражения $x^6$ и $x^2$ являются четными степенями, поэтому они всегда неотрицательны: $x^6 \geq 0$ и $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, $7x^6 \geq 0$ и $21x^2 \geq 0$.

Тогда их сумма $7x^6 + 21x^2 \geq 0$.

Прибавив 2, получаем: $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2 \geq 0 + 0 + 2 = 2$.

Так как производная $y' > 0$ для всех $x$, функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = 7x^6 + 21x^2 + 2$ всегда положительна, следовательно, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = 21x - \frac{1}{x^5}$ на $(0; +\infty)$

Представим функцию в виде $y = 21x - x^{-5}$.

Найдем производную функции:

$y' = (21x - x^{-5})' = 21 - (-5)x^{-6} = 21 + 5x^{-6}$.

Запишем производную в виде дроби:

$y' = 21 + \frac{5}{x^6}$.

На промежутке $(0; +\infty)$ переменная $x$ принимает положительные значения. Тогда $x^6$ также будет положительным ($x^6 > 0$).

Следовательно, слагаемое $\frac{5}{x^6}$ является положительным.

Сумма положительного числа 21 и положительного слагаемого $\frac{5}{x^6}$ всегда будет положительной.

Таким образом, $y' > 0$ на промежутке $(0; +\infty)$, и функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = 21 + \frac{5}{x^6}$ положительна на интервале $(0; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на этом интервале.