Номер 44.14, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.14. a) $y = 7x - \cos 2x$ на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 10x + \sin 3x$ на $(-\infty; +\infty)$.

а) $y = 7x - \cos 2x$ на $(-\infty; +\infty)$

Для исследования функции на монотонность (возрастание или убывание) необходимо найти ее производную. Если производная функции положительна на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (7x - \cos 2x)' = (7x)' - (\cos 2x)'$

Производная от $7x$ равна 7. Для нахождения производной от $\cos 2x$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos u)' = -u' \cdot \sin u$. В нашем случае $u=2x$, и $u'=2$.

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$

Подставляем найденные производные в общее выражение:

$y' = 7 - (-2\sin 2x) = 7 + 2\sin 2x$

Теперь оценим знак производной. Область значений функции синус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть для любого значения $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin 2x \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\sin 2x \le 2$

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 2 \le 7 + 2\sin 2x \le 7 + 2$

$5 \le 7 + 2\sin 2x \le 9$

Таким образом, $5 \le y' \le 9$. Поскольку производная $y'$ всегда находится в пределах от 5 до 9, она всегда положительна ($y' > 0$) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как производная функции положительна на всей числовой прямой, функция $y = 7x - \cos 2x$ является строго возрастающей на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 10x + \sin 3x$ на $(-\infty; +\infty)$

Действуем аналогично предыдущему пункту: находим производную и анализируем ее знак.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (10x + \sin 3x)' = (10x)' + (\sin 3x)'$

Производная от $10x$ равна 10. Для нахождения производной от $\sin 3x$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$. В нашем случае $u=3x$, и $u'=3$.

$(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos 3x$

Подставляем найденные производные в общее выражение:

$y' = 10 + 3\cos 3x$

Теперь оценим знак производной. Область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть для любого значения $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Умножим все части неравенства на 3:

$-3 \le 3\cos 3x \le 3$

Прибавим 10 ко всем частям неравенства:

$10 - 3 \le 10 + 3\cos 3x \le 10 + 3$

$7 \le 10 + 3\cos 3x \le 13$

Таким образом, $7 \le y' \le 13$. Поскольку производная $y'$ всегда находится в пределах от 7 до 13, она всегда положительна ($y' > 0$) для любого $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как производная функции положительна на всей числовой прямой, функция $y = 10x + \sin 3x$ является строго возрастающей на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.