Номер 44.16, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.16. a) $y = \frac{4x}{4x + 1}$ на $(-\frac{1}{4}; +\infty)$;

б) $y = \frac{2x - 13}{x - 5}$ на $(-\infty; 5)$.

а) Для того чтобы найти множество значений функции $y = \frac{4x}{4x+1}$ на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$, исследуем ее поведение на этом интервале.
1. Преобразование функции. Выделим целую часть дроби: $y = \frac{4x+1-1}{4x+1} = \frac{4x+1}{4x+1} - \frac{1}{4x+1} = 1 - \frac{1}{4x+1}$. Графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -\frac{1}{4}$ и горизонтальной асимптотой $y=1$.
2. Монотонность функции. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = \left(1 - \frac{1}{4x+1}\right)' = -( (4x+1)^{-1} )' = -(-1)(4x+1)^{-2} \cdot (4x+1)' = \frac{4}{(4x+1)^2}$. Поскольку знаменатель $(4x+1)^2$ всегда положителен при $x \ne -\frac{1}{4}$, производная $y' > 0$ на всей области определения. Это означает, что функция является строго возрастающей на заданном интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.
3. Предельные значения. Так как функция строго возрастает, ее множество значений на интервале будет определяться ее поведением на границах этого интервала. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к $-\frac{1}{4}$ справа (левая граница интервала): $\lim_{x \to -1/4^+} y(x) = \lim_{x \to -1/4^+} \left(1 - \frac{1}{4x+1}\right)$. При $x \to -1/4^+$, выражение $4x+1$ стремится к $0$ оставаясь положительным ($4x+1 \to 0^+$). Тогда $\frac{1}{4x+1} \to +\infty$. Следовательно, предел равен: $1 - (+\infty) = -\infty$. Найдем предел функции при $x \to +\infty$ (правая граница интервала): $\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{4x+1}\right) = 1 - 0 = 1$.
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$ от $-\infty$ до $1$, ее множество значений на этом интервале есть $(-\infty; 1)$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 1)$.

б) Для того чтобы найти множество значений функции $y = \frac{2x-13}{x-5}$ на интервале $(-\infty; 5)$, проведем аналогичное исследование.
1. Преобразование функции. Выделим целую часть дроби: $y = \frac{2(x-5)+10-13}{x-5} = \frac{2(x-5)}{x-5} - \frac{3}{x-5} = 2 - \frac{3}{x-5}$. Графиком этой функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=5$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.
2. Монотонность функции. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = \left(2 - \frac{3}{x-5}\right)' = -( -3(x-5)^{-2} ) \cdot (x-5)' = \frac{3}{(x-5)^2}$. Поскольку знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$, производная $y' > 0$ на всей области определения. Это означает, что функция является строго возрастающей на заданном интервале $(-\infty; 5)$.
3. Предельные значения. Найдем пределы функции на границах интервала. Найдем предел функции при $x \to -\infty$ (левая граница интервала): $\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 - \frac{3}{x-5}\right) = 2 - 0 = 2$. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к $5$ слева (правая граница интервала): $\lim_{x \to 5^-} y(x) = \lim_{x \to 5^-} \left(2 - \frac{3}{x-5}\right)$. При $x \to 5^-$, выражение $x-5$ стремится к $0$ оставаясь отрицательным ($x-5 \to 0^-$). Тогда $\frac{3}{x-5} \to -\infty$. Следовательно, предел равен: $2 - (-\infty) = +\infty$.
Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на интервале $(-\infty; 5)$ от $2$ до $+\infty$, ее множество значений на этом интервале есть $(2; +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (2; +\infty)$.