Номер 44.27, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.27. a) $y = \begin{cases} 2x^3 - 6x, \text{ если } x \ge -1, \\ x^2 + 2x + 3, \text{ если } x < -1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 3x^4 - 4x^3, \text{ если } x \le 2, \\ -x^2 + 4x + 12, \text{ если } x > 2. \end{cases}$

a)

Исследуем функцию $y = \begin{cases} 2x^3 - 6x, & \text{если } x \ge -1 \\ x^2 + 2x + 3, & \text{если } x < -1 \end{cases}$ на непрерывность и дифференцируемость в точке $x = -1$.

1. Непрерывность.

Функция непрерывна в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x) = y(x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x = -1$. Согласно определению функции, при $x = -1$ используется формула $y = 2x^3 - 6x$:
$y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) = 2(-1) + 6 = 4$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to -1$ и $x < -1$), используя формулу $y = x^2 + 2x + 3$:
$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} (x^2 + 2x + 3) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to -1$ и $x > -1$), используя формулу $y = 2x^3 - 6x$:
$\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (2x^3 - 6x) = 2(-1)^3 - 6(-1) = -2 + 6 = 4$.

Поскольку левосторонний предел ($2$) не равен правостороннему пределу ($4$), то предел функции в точке $x=-1$ не существует. Следовательно, функция не является непрерывной в точке $x = -1$ (терпит разрыв первого рода).

2. Дифференцируемость.

Если функция не является непрерывной в точке, то она не является и дифференцируемой в этой точке. Так как функция имеет разрыв в точке $x=-1$, она не дифференцируема в этой точке.

Ответ: функция не является непрерывной и не является дифференцируемой в точке $x = -1$.

б)

Исследуем функцию $y = \begin{cases} 3x^4 - 4x^3, & \text{если } x \le 2 \\ -x^2 + 4x + 12, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ на непрерывность и дифференцируемость в точке $x = 2$.

1. Непрерывность.

Проверим выполнение условия непрерывности: $\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^+} y(x) = y(2)$.

Найдем значение функции в точке $x = 2$, используя формулу $y = 3x^4 - 4x^3$ (так как $x \le 2$):
$y(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 = 3 \cdot 16 - 4 \cdot 8 = 48 - 32 = 16$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 2$ и $x < 2$):
$\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x^4 - 4x^3) = 3(2)^4 - 4(2)^3 = 16$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 2$ и $x > 2$), используя формулу $y = -x^2 + 4x + 12$:
$\lim_{x \to 2^+} y(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 4x + 12) = -(2)^2 + 4(2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$.

Так как $\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^+} y(x) = y(2) = 16$, функция является непрерывной в точке $x = 2$.

2. Дифференцируемость.

Поскольку функция непрерывна в $x=2$, она может быть дифференцируемой. Для этого левая и правая производные в точке $x=2$ должны быть равны: $y'_-(2) = y'_+(2)$.

Найдем производные для каждой части функции:
При $x < 2$: $y'(x) = (3x^4 - 4x^3)' = 12x^3 - 12x^2$.
При $x > 2$: $y'(x) = (-x^2 + 4x + 12)' = -2x + 4$.

Вычислим левую производную в точке $x=2$ (предел производной слева):
$y'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} (12x^3 - 12x^2) = 12(2)^3 - 12(2)^2 = 12 \cdot 8 - 12 \cdot 4 = 96 - 48 = 48$.

Вычислим правую производную в точке $x=2$ (предел производной справа):
$y'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} (-2x + 4) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0$.

Поскольку $y'_-(2) \ne y'_+(2)$ ($48 \ne 0$), производная в точке $x=2$ не существует. Следовательно, функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: функция является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке $x = 2$.