Номер 44.31, страница 270, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

При каких значениях параметра a функция возрастает на всей числовой прямой:

44.31. a) $y = x^3 + ax;$

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3?$

а) $y = x^3 + ax$

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна для всех действительных значений $x$, то есть $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^3 + ax)' = 3x^2 + a$

Теперь необходимо решить неравенство:

$3x^2 + a \ge 0$

Выражение в левой части представляет собой квадратичную функцию от $x$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$).

Такая парабола будет целиком лежать не ниже оси абсцисс (то есть, неравенство будет выполняться для всех $x$), если ее вершина находится на оси $x$ или выше нее. Наименьшее значение выражения $3x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$. Следовательно, наименьшее значение для $3x^2 + a$ равно $a$.

Таким образом, условие $3x^2 + a \ge 0$ выполняется для всех $x$ тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

В качестве альтернативного подхода можно использовать дискриминант. Квадратный трехчлен $Ax^2+Bx+C$ с $A>0$ неотрицателен для всех $x$, если уравнение $Ax^2+Bx+C=0$ имеет не более одного корня, что соответствует условию $D \le 0$.

Для уравнения $3x^2 + 0 \cdot x + a = 0$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = -12a$.

Решаем неравенство $D \le 0$:

$-12a \le 0$

$a \ge 0$

Ответ: $a \ge 0$.

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3$

Аналогично пункту а), функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3)' = \frac{3x^2}{3} - 2ax + 5 = x^2 - 2ax + 5$

Теперь необходимо, чтобы неравенство $x^2 - 2ax + 5 \ge 0$ выполнялось для всех действительных $x$.

Выражение в левой части — это квадратичный трехчлен с положительным старшим коэффициентом ($1 > 0$), его график — парабола с ветвями вверх. Неравенство будет выполняться для всех $x$, если парабола не пересекает ось абсцисс или касается ее в одной точке. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 5 = 0$ должно иметь не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю.

Вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - 2ax + 5 = 0$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4a^2 - 20$

Решим неравенство $D \le 0$:

$4a^2 - 20 \le 0$

$4a^2 \le 20$

$a^2 \le 5$

Решением этого неравенства является интервал:

$-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$

Ответ: $a \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.