Страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.21. a) $y = \frac{3x-1}{3x+1}$;

б) $y = \frac{1-2x}{3+2x}$.

а)

Чтобы найти функцию, обратную к данной $y = \frac{3x - 1}{3x + 1}$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

1. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3x + 1)$, при условии, что он не равен нулю:
$y(3x + 1) = 3x - 1$

2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3xy + y = 3x - 1$

3. Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения (например, в правой), а остальные — в другой:
$y + 1 = 3x - 3xy$

4. Вынесем общий множитель $x$ за скобки в правой части:
$y + 1 = x(3 - 3y)$

5. Выразим $x$, разделив обе части на выражение в скобках $(3 - 3y)$:
$x = \frac{y + 1}{3 - 3y}$

6. Чтобы получить обратную функцию в стандартном виде, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{x + 1}{3 - 3x}$

Ответ: $y = \frac{x+1}{3-3x}$

б)

Чтобы найти функцию, обратную к данной $y = \frac{1 - 2x}{3 + 2x}$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

1. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3 + 2x)$, при условии, что он не равен нулю:
$y(3 + 2x) = 1 - 2x$

2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3y + 2xy = 1 - 2x$

3. Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения (например, в левой), а остальные — в другой:
$2xy + 2x = 1 - 3y$

4. Вынесем общий множитель $x$ за скобки в левой части:
$x(2y + 2) = 1 - 3y$

5. Выразим $x$, разделив обе части на выражение в скобках $(2y + 2)$:
$x = \frac{1 - 3y}{2y + 2}$

6. Чтобы получить обратную функцию в стандартном виде, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{1 - 3x}{2x + 2}$

Ответ: $y = \frac{1-3x}{2x+2}$

44.22. a) $y = \sqrt{3x - 1};$

Б) $y = \sqrt{1 - x + 2x};$

В) $y = \sqrt{1 - 2x};$

Г) $y = \sqrt{2x - 1 - x}.$

а) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{3x - 1}$ необходимо, чтобы выражение, находящееся под знаком квадратного корня, было неотрицательным.
Составим и решим соответствующее неравенство:
$3x - 1 \ge 0$
Перенесем $-1$ в правую часть неравенства, изменив знак:
$3x \ge 1$
Разделим обе части неравенства на 3:
$x \ge \frac{1}{3}$
Таким образом, область определения функции — это числовой промежуток $[\frac{1}{3}; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = [\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{1 - x} + 2x$ определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как слагаемое $2x$ определено для любых действительных чисел.
Составим и решим неравенство:
$1 - x \ge 0$
Перенесем $-x$ в правую часть неравенства:
$1 \ge x$
Это неравенство можно записать как $x \le 1$.
Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; 1]$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1]$.

в) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{1 - 2x}$ необходимо, чтобы выражение под знаком корня было неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$1 - 2x \ge 0$
Перенесем $-2x$ в правую часть:
$1 \ge 2x$
Разделим обе части на 2:
$\frac{1}{2} \ge x$, или $x \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{2}]$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{2}]$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{2x - 1} - x$ зависит от выражения под знаком корня, так как слагаемое $-x$ определено для всех действительных чисел. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$2x - 1 \ge 0$
Перенесем $-1$ в правую часть:
$2x \ge 1$
Разделим обе части на 2:
$x \ge \frac{1}{2}$
Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

44.23. a) $y = \frac{x^2}{x^2 + 2}$;

б) $y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4}$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{x^2}{x^2 + 2}$, преобразуем данное выражение. Цель преобразования — выразить $y$ через простое выражение, диапазон которого легко определить.

Выделим целую часть дроби, добавив и вычтя 2 в числителе:

$y = \frac{x^2 + 2 - 2}{x^2 + 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} - \frac{2}{x^2 + 2} = 1 - \frac{2}{x^2 + 2}$

Теперь проанализируем полученное выражение. Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+2 \ge 2$).

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение знаменателя равно $0^2 + 2 = 2$. При увеличении $|x|$, значение $x^2+2$ также увеличивается. Таким образом, $x^2 + 2$ принимает значения в промежутке $[2, +\infty)$.

Теперь оценим значение дроби $\frac{2}{x^2 + 2}$.

Если знаменатель $x^2+2$ принимает значения из $[2, +\infty)$, то обратная величина $\frac{1}{x^2+2}$ будет принимать значения из $(0, \frac{1}{2}]$.

Умножив на 2, получим, что выражение $\frac{2}{x^2 + 2}$ принимает значения из полуинтервала $(0, 1]$.

Вернемся к функции $y = 1 - \frac{2}{x^2 + 2}$. Мы вычитаем из 1 число из полуинтервала $(0, 1]$.

Наименьшее значение $y$ будет достигнуто, когда вычитаемое $\frac{2}{x^2 + 2}$ максимально. Его максимальное значение равно 1 (при $x=0$).

$y_{min} = 1 - 1 = 0$.

По мере роста $|x|$, знаменатель $x^2+2$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{2}{x^2+2}$ стремится к 0 (оставаясь положительной), а значение $y$ стремится к $1 - 0 = 1$. Однако значение 1 никогда не достигается.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от 0 (включительно) до 1 (не включительно).

Ответ: $E(y) = [0, 1)$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4}$, используем аналогичный подход с преобразованием выражения.

Выполним преобразование:

$y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4} = -3 \cdot \frac{x^2}{x^2 + 4} = -3 \cdot \frac{x^2 + 4 - 4}{x^2 + 4} = -3 \left( \frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} - \frac{4}{x^2 + 4} \right)$

$y = -3 \left( 1 - \frac{4}{x^2 + 4} \right) = -3 + \frac{12}{x^2 + 4}$

Проанализируем полученное выражение $y = -3 + \frac{12}{x^2 + 4}$. Область определения — все действительные числа, так как $x^2 + 4 > 0$.

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 4$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель принимает значения в промежутке $[4, +\infty)$.

Теперь оценим значение дроби $\frac{12}{x^2 + 4}$.

Если знаменатель $x^2+4$ принимает значения из $[4, +\infty)$, то обратная величина $\frac{1}{x^2+4}$ будет принимать значения из $(0, \frac{1}{4}]$.

Умножив на 12, получим, что выражение $\frac{12}{x^2 + 4}$ принимает значения из полуинтервала $(0, 3]$.

Вернемся к функции $y = -3 + \frac{12}{x^2 + 4}$. Мы прибавляем к числу -3 число из полуинтервала $(0, 3]$.

Наибольшее значение $y$ будет достигнуто, когда слагаемое $\frac{12}{x^2 + 4}$ максимально. Его максимальное значение равно 3 (при $x=0$).

$y_{max} = -3 + 3 = 0$.

По мере роста $|x|$, знаменатель $x^2+4$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{12}{x^2+4}$ стремится к 0 (оставаясь положительной), а значение $y$ стремится к $-3 + 0 = -3$. Однако значение -3 никогда не достигается.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от -3 (не включительно) до 0 (включительно).

Ответ: $E(y) = (-3, 0]$.

44.24. a) $y = \sin^2 x;$

Б) $y = \frac{1}{\cos^3 x};$

В) $y = \cos^2 x;$

Г) $y = \frac{1}{\sin^5 x}.$

а) Для нахождения производной функции $y = \sin^2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функция является композицией степенной функции $u^2$ и тригонометрической функции $u = \sin x$.

Производная находится по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$y' = (\sin^2 x)' = 2\sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cdot \cos x$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, упрощаем выражение:

$y' = \sin(2x)$.

Ответ: $y' = \sin(2x)$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\cos^3 x}$ представим ее в виде $y = (\cos x)^{-3}$.

Это сложная функция, являющаяся композицией степенной функции $u^{-3}$ и тригонометрической функции $u = \cos x$. Применяем цепное правило:

$y' = ((\cos x)^{-3})' = -3(\cos x)^{-3-1} \cdot (\cos x)' = -3(\cos x)^{-4} \cdot (-\sin x)$.

Упростим полученное выражение:

$y' = 3\sin x (\cos x)^{-4} = \frac{3\sin x}{\cos^4 x}$.

Ответ: $y' = \frac{3\sin x}{\cos^4 x}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 x$ воспользуемся цепным правилом. Функция является композицией степенной функции $u^2$ и тригонометрической функции $u = \cos x$.

Производная находится по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos^{2-1} x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x)$.

Перегруппируем множители и применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$y' = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$.

Ответ: $y' = -\sin(2x)$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sin^5 x}$ представим ее в виде $y = (\sin x)^{-5}$.

Это сложная функция, являющаяся композицией степенной функции $u^{-5}$ и тригонометрической функции $u = \sin x$. Применяем цепное правило:

$y' = ((\sin x)^{-5})' = -5(\sin x)^{-5-1} \cdot (\sin x)' = -5(\sin x)^{-6} \cdot \cos x$.

Запишем результат в виде дроби:

$y' = -\frac{5\cos x}{\sin^6 x}$.

Ответ: $y' = -\frac{5\cos x}{\sin^6 x}$.

44.25. a) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$;

б) $y = \sqrt{5x - 2 - 2x^2}$.

а) Областью определения функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 6x + 8 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Либо можно использовать дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$

$x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции неотрицательны ($f(x) \ge 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 2]$ и $[4, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

б) Областью определения функции $y = \sqrt{5x - 2 - 2x^2}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$5x - 2 - 2x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$2x^2 - 5x + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения этой функции неположительны ($f(x) \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[0.5, 2]$.

Ответ: $D(y) = [0.5, 2]$.

44.26. a) $y = \arcsin x^2$;

б) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

в) $y = \arccos \sqrt{x}$;

г) $y = \operatorname{arcctg}^2 x$.

а) Дана функция $y = \arcsin x^2$. Это сложная функция, для нахождения ее производной необходимо применить правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это арксинус, а внутренняя — степенная функция $x^2$.
Нам понадобятся следующие формулы производных:
1. Производная арксинуса: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Применим эти формулы. Пусть $u = x^2$. Тогда $u' = (x^2)' = 2x$.
$y' = (\arcsin x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
Ответ: $y' = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

б) Дана функция $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$. Это сложная функция, где внешняя функция — арккотангенс, а внутренняя — квадратный корень. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
Формулы производных:
1. Производная арккотангенса: $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.
2. Производная квадратного корня: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Пусть $u = \sqrt{x}$. Тогда $u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (\operatorname{arcctg} \sqrt{x})' = -\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = -\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

в) Дана функция $y = \arccos \sqrt{x}$. Это сложная функция. Внешняя функция — арккосинус, внутренняя — квадратный корень.
Формулы производных:
1. Производная арккосинуса: $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
2. Производная квадратного корня: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Пусть $u = \sqrt{x}$. Тогда $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (\arccos \sqrt{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

г) Дана функция $y = \operatorname{arctg}^2 x$. Эту запись следует понимать как $y = (\operatorname{arctg} x)^2$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная ($u^2$), а внутренняя — арктангенс.
Формулы производных:
1. Производная степенной функции: $(u^n)' = nu^{n-1} \cdot u'$.
2. Производная арктангенса: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$.
Пусть $u = \operatorname{arctg} x$. Тогда $y = u^2$.
$y' = (u^2)' = 2u \cdot u' = 2(\operatorname{arctg} x) \cdot (\operatorname{arctg} x)' = 2\operatorname{arctg} x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2\operatorname{arctg} x}{1+x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1+x^2}$

44.27. a) $y = \begin{cases} 2x^3 - 6x, \text{ если } x \ge -1, \\ x^2 + 2x + 3, \text{ если } x < -1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 3x^4 - 4x^3, \text{ если } x \le 2, \\ -x^2 + 4x + 12, \text{ если } x > 2. \end{cases}$

a)

Исследуем функцию $y = \begin{cases} 2x^3 - 6x, & \text{если } x \ge -1 \\ x^2 + 2x + 3, & \text{если } x < -1 \end{cases}$ на непрерывность и дифференцируемость в точке $x = -1$.

1. Непрерывность.

Функция непрерывна в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x) = y(x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x = -1$. Согласно определению функции, при $x = -1$ используется формула $y = 2x^3 - 6x$:
$y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) = 2(-1) + 6 = 4$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to -1$ и $x < -1$), используя формулу $y = x^2 + 2x + 3$:
$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} (x^2 + 2x + 3) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to -1$ и $x > -1$), используя формулу $y = 2x^3 - 6x$:
$\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (2x^3 - 6x) = 2(-1)^3 - 6(-1) = -2 + 6 = 4$.

Поскольку левосторонний предел ($2$) не равен правостороннему пределу ($4$), то предел функции в точке $x=-1$ не существует. Следовательно, функция не является непрерывной в точке $x = -1$ (терпит разрыв первого рода).

2. Дифференцируемость.

Если функция не является непрерывной в точке, то она не является и дифференцируемой в этой точке. Так как функция имеет разрыв в точке $x=-1$, она не дифференцируема в этой точке.

Ответ: функция не является непрерывной и не является дифференцируемой в точке $x = -1$.

б)

Исследуем функцию $y = \begin{cases} 3x^4 - 4x^3, & \text{если } x \le 2 \\ -x^2 + 4x + 12, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ на непрерывность и дифференцируемость в точке $x = 2$.

1. Непрерывность.

Проверим выполнение условия непрерывности: $\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^+} y(x) = y(2)$.

Найдем значение функции в точке $x = 2$, используя формулу $y = 3x^4 - 4x^3$ (так как $x \le 2$):
$y(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 = 3 \cdot 16 - 4 \cdot 8 = 48 - 32 = 16$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 2$ и $x < 2$):
$\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x^4 - 4x^3) = 3(2)^4 - 4(2)^3 = 16$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 2$ и $x > 2$), используя формулу $y = -x^2 + 4x + 12$:
$\lim_{x \to 2^+} y(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 4x + 12) = -(2)^2 + 4(2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$.

Так как $\lim_{x \to 2^-} y(x) = \lim_{x \to 2^+} y(x) = y(2) = 16$, функция является непрерывной в точке $x = 2$.

2. Дифференцируемость.

Поскольку функция непрерывна в $x=2$, она может быть дифференцируемой. Для этого левая и правая производные в точке $x=2$ должны быть равны: $y'_-(2) = y'_+(2)$.

Найдем производные для каждой части функции:
При $x < 2$: $y'(x) = (3x^4 - 4x^3)' = 12x^3 - 12x^2$.
При $x > 2$: $y'(x) = (-x^2 + 4x + 12)' = -2x + 4$.

Вычислим левую производную в точке $x=2$ (предел производной слева):
$y'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} (12x^3 - 12x^2) = 12(2)^3 - 12(2)^2 = 12 \cdot 8 - 12 \cdot 4 = 96 - 48 = 48$.

Вычислим правую производную в точке $x=2$ (предел производной справа):
$y'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} (-2x + 4) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0$.

Поскольку $y'_-(2) \ne y'_+(2)$ ($48 \ne 0$), производная в точке $x=2$ не существует. Следовательно, функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: функция является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке $x = 2$.

44.28. a) $y = \begin{cases} x^5 - 5x^4 + 1, & \text{если } x \ge 0, \\ (x + 2)^2 - 3, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -3x^5 + 5x^3 - 2, & \text{если } x \ge -1, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x < -1. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x^5 - 5x^4 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ (x+2)^2 - 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.

При $x > 0$ функция $y = x^5 - 5x^4 + 1$ является многочленом и, следовательно, непрерывна.
При $x < 0$ функция $y = (x+2)^2 - 3$ также является многочленом и непрерывна.
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x = 0$. Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0)$.

Вычислим значение функции в точке $x = 0$:
$y(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 + 1 = 1$.

Вычислим односторонние пределы:
Левосторонний предел (при $x \to 0^-$):
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} ((x+2)^2 - 3) = (0+2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to 0^+$):
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^5 - 5x^4 + 1) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 + 1 = 1$.

Так как $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0) = 1$, функция непрерывна в точке $x = 0$.
Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.

2. Исследование на дифференцируемость.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
При $x > 0$: $y' = (x^5 - 5x^4 + 1)' = 5x^4 - 20x^3$.
При $x < 0$: $y' = ((x+2)^2 - 3)' = 2(x+2) = 2x + 4$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = 0$, сравнив левую и правую производные в этой точке.
Левая производная: $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (2x+4) = 2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Правая производная: $y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (5x^4 - 20x^3) = 5 \cdot 0^4 - 20 \cdot 0^3 = 0$.

Поскольку $y'_{-}(0) \neq y'_{+}(0)$ ( $4 \neq 0$ ), производная в точке $x = 0$ не существует.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, но не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -3x^5 + 5x^3 - 2, & \text{если } x \ge -1 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.

При $x > -1$ функция $y = -3x^5 + 5x^3 - 2$ является многочленом и непрерывна.
При $x < -1$ функция $y = \frac{4}{x}$ является рациональной функцией, которая непрерывна всюду, кроме точки $x=0$. Так как $0$ не входит в интервал $x < -1$, функция на этом интервале непрерывна.
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x = -1$. Для этого нужно проверить равенство $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1)$.

Вычислим значение функции в точке $x = -1$:
$y(-1) = -3(-1)^5 + 5(-1)^3 - 2 = -3(-1) + 5(-1) - 2 = 3 - 5 - 2 = -4$.

Вычислим односторонние пределы:
Левосторонний предел (при $x \to -1^-$):
$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{4}{x} = \frac{4}{-1} = -4$.
Правосторонний предел (при $x \to -1^+$):
$\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (-3x^5 + 5x^3 - 2) = -3(-1)^5 + 5(-1)^3 - 2 = 3 - 5 - 2 = -4$.

Так как $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1) = -4$, функция непрерывна в точке $x = -1$.
Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.

2. Исследование на дифференцируемость.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
При $x > -1$: $y' = (-3x^5 + 5x^3 - 2)' = -15x^4 + 15x^2$.
При $x < -1$: $y' = (\frac{4}{x})' = -\frac{4}{x^2}$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = -1$, сравнив левую и правую производные в этой точке.
Левая производная: $y'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^-} (-\frac{4}{x^2}) = -\frac{4}{(-1)^2} = -4$.
Правая производная: $y'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^+} (-15x^4 + 15x^2) = -15(-1)^4 + 15(-1)^2 = -15(1) + 15(1) = 0$.

Поскольку $y'_{-}(-1) \neq y'_{+}(-1)$ ( $-4 \neq 0$ ), производная в точке $x = -1$ не существует.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, но не является дифференцируемой в точке $x=-1$.

44.29. Исследуйте на монотонность функцию $y = f(x)$ и постройте (схематически) её график:

а) $f(x) = x^3 - 3x + 2;$

б) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1;$

в) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 8;$

г) $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7.$

а)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции для определения интервалов монотонности: $f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.

3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$. Решаем уравнение $3x^2 - 3 = 0$, что эквивалентно $x^2 = 1$. Корни уравнения, а следовательно и критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

4. Промежутки монотонности. Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. График $f'(x) = 3x^2 - 3$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.

- На интервале $(-1; 1)$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ снова возрастает.

5. Экстремумы.

- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$. Точка максимума: $(-1; 4)$.

- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Построение графика. Ключевые точки для построения: максимум $(-1; 4)$, минимум $(1; 0)$. Пересечение с осью OY: $f(0) = 2$, точка $(0; 2)$. Пересечение с осью OX: $f(x) = (x-1)^2(x+2) = 0$, корни $x=1$ (касание) и $x=-2$. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через указанные точки.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 1]$. Точка максимума $(-1; 4)$, точка минимума $(1; 0)$.

б)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Заметим, что $f(x) = (x^2-1)^2$, функция четная ($f(-x)=f(x)$), ее график симметричен относительно оси OY.

2. Производная. $f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

3. Критические точки. $f'(x) = 0 \Rightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Промежутки монотонности. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

- На $(-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(-2) = -24 < 0$), функция убывает.

- На $(-1; 0)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(-0.5) = 1.5 > 0$), функция возрастает.

- На $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(0.5) = -1.5 < 0$), функция убывает.

- На $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(2) = 24 > 0$), функция возрастает.

5. Экстремумы.

- $x = -1$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 0$. Точка минимума: $(-1; 0)$.

- $x = 0$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(0) = 1$. Точка максимума: $(0; 1)$.

- $x = 1$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Построение графика. График имеет характерную W-образную форму. Он симметричен относительно оси OY, касается оси OX в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$ (минимумы) и имеет локальный максимум в точке $(0; 1)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$. Точки минимума $(-1; 0)$ и $(1; 0)$, точка максимума $(0; 1)$.

в)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 8$.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. $f'(x) = (x^3 + 6x^2 - 15x + 8)' = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5)$.

3. Критические точки. $f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 + 4x - 5) = 0 \Rightarrow 3(x+5)(x-1)=0$. Критические точки: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

4. Промежутки монотонности. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх.

- На $(-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.

- На $(-5; 1)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.

5. Экстремумы.

- $x = -5$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) + 8 = -125 + 150 + 75 + 8 = 108$. Точка максимума: $(-5; 108)$.

- $x = 1$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(1) = 1^3 + 6(1)^2 - 15(1) + 8 = 1 + 6 - 15 + 8 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Построение графика. Точки экстремумов: $(-5; 108)$ и $(1; 0)$. Пересечение с OY: $f(0) = 8$. Пересечение с OX: $f(x) = (x-1)^2(x+8)=0$, корни $x=1$ (касание) и $x=-8$. График — кубическая парабола.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-5; 1]$. Точка максимума $(-5; 108)$, точка минимума $(1; 0)$.

г)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7$.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция четная, так как содержит только четные степени $x$, график симметричен относительно оси OY.

2. Производная. $f'(x) = (-x^4 + 8x^2 - 7)' = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$.

3. Критические точки. $f'(x) = 0 \Rightarrow -4x(x-2)(x+2)=0$. Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

4. Промежутки монотонности. Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

- На $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(-3) = 60 > 0$), функция возрастает.

- На $(-2; 0)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(-1) = -12 < 0$), функция убывает.

- На $(0; 2)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(1) = 12 > 0$), функция возрастает.

- На $(2; +\infty)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(3) = -60 < 0$), функция убывает.

5. Экстремумы.

- $x = -2$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 7 = -16 + 32 - 7 = 9$. Точка максимума: $(-2; 9)$.

- $x = 0$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(0) = -7$. Точка минимума: $(0; -7)$.

- $x = 2$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 7 = 9$. Точка максимума: $(2; 9)$.

6. Построение графика. График имеет М-образную форму. Пересечение с OX: $-x^4 + 8x^2 - 7 = 0$. Замена $t=x^2$ дает $t^2 - 8t + 7 = 0$, корни $t=1, t=7$. Значит $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$ и $x^2=7 \Rightarrow x=\pm\sqrt{7}$. Точки пересечения: $(\pm1; 0)$ и $(\pm\sqrt{7}; 0)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума $(-2; 9)$ и $(2; 9)$, точка минимума $(0; -7)$.

44.30. Постройте график функции $y = f(x)$, $x \in [0; 10]$, производная которой равна нулю на интервалах $(0; 2)$; $(2; 6)$; $(6; 10)$, если известно, что $f(1) = 0$, $f(5) = 3$, $f(8) = -2$.

Анализ условия о производной

По условию, производная функции $y = f(x)$ равна нулю на интервалах $(0; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; 10)$. Из курса математического анализа известно, что если производная функции на некотором интервале равна нулю ($f'(x) = 0$), то сама функция на этом интервале является постоянной (константой). Следовательно, функция $f(x)$ является кусочно-постоянной. То есть, она принимает три разных постоянных значения на трех указанных интервалах.

Определение значений функции на интервалах

Чтобы найти эти постоянные значения, используем данные в условии точки, принадлежащие графику функции: $f(1) = 0$, $f(5) = 3$, $f(8) = -2$.
• Для интервала $(0; 2)$: точка $x=1$ принадлежит этому интервалу. Так как $f(1) = 0$, то для всех $x$ из интервала $(0; 2)$ значение функции будет равно 0. То есть, $f(x) = 0$ при $x \in (0; 2)$.
• Для интервала $(2; 6)$: точка $x=5$ принадлежит этому интервалу. Так как $f(5) = 3$, то для всех $x$ из интервала $(2; 6)$ значение функции будет равно 3. То есть, $f(x) = 3$ при $x \in (2; 6)$.
• Для интервала $(6; 10)$: точка $x=8$ принадлежит этому интервалу. Так как $f(8) = -2$, то для всех $x$ из интервала $(6; 10)$ значение функции будет равно -2. То есть, $f(x) = -2$ при $x \in (6; 10)$.

Построение графика

Теперь мы можем построить график функции на всем отрезке $x \in [0; 10]$. График будет состоять из трех горизонтальных участков. В точках $x=2$ и $x=6$ функция имеет разрывы первого рода (скачки). Чтобы график был однозначно определен на всем отрезке, включая концы интервалов, мы должны определить значения $f(0), f(2), f(6), f(10)$.
Хотя в условии это строго не оговорено, стандартным подходом является расширение постоянства функции на концы интервалов. Определим функцию так, чтобы она была задана на всем отрезке $[0; 10]$ и удовлетворяла всем условиям. Например, можно сделать ее непрерывной справа в точках разрыва:
$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in [0, 2] \\ 3, & \text{если } x \in (2, 6] \\ -2, & \text{если } x \in (6, 10] \end{cases}$
Этот вид функции удовлетворяет всем исходным данным.
График будет выглядеть следующим образом:
1. На промежутке $[0; 2]$ — горизонтальный отрезок прямой $y=0$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Обе точки включены (закрашены).
2. На промежутке $(2; 6]$ — горизонтальный отрезок прямой $y=3$. Начальная точка $(2, 3)$ выколота (изображается пустым кружком), а конечная точка $(6, 3)$ включена (закрашенный кружок).
3. На промежутке $(6; 10]$ — горизонтальный отрезок прямой $y=-2$. Начальная точка $(6, -2)$ выколота, а конечная точка $(10, -2)$ включена.

Ответ: График функции $y=f(x)$ на отрезке $[0; 10]$ состоит из трех горизонтальных отрезков. Первый отрезок соединяет точки $(0,0)$ и $(2,0)$ (обе точки включены). Второй отрезок идет от точки $(2,3)$ (выколота) до точки $(6,3)$ (включена). Третий отрезок идет от точки $(6,-2)$ (выколота) до точки $(10,-2)$ (включена).