Страница 267, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.8. a) Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что данная функция возрастает на $(-\infty; 1)$ и убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

б) Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что данная функция убывает на луче $(-\infty; -1]$, возрастает на отрезке $[-1; 3]$, убывает на луче $[3; +\infty)$.

а) Для того чтобы построить эскиз графика производной функции $y = f'(x)$, воспользуемся связью между знаком производной и поведением самой функции $y = f(x)$.
Основное правило заключается в следующем: 1) если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$; 2) если функция $f(x)$ убывает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна, то есть $f'(x) \le 0$; 3) в точках экстремума (максимума или минимума) дифференцируемой функции её производная равна нулю.
Согласно условию задачи:
1. Функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$. Это означает, что для всех $x$ из этого промежутка её производная $f'(x) \ge 0$. График производной $y=f'(x)$ находится выше или на оси абсцисс (оси Ox).
2. Функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$. Это означает, что для всех $x$ из этого промежутка её производная $f'(x) \le 0$. График производной $y=f'(x)$ находится ниже или на оси абсцисс.
3. В точке $x=1$ функция меняет характер монотонности с возрастания на убывание. Это точка локального максимума для функции $f(x)$. Следовательно, если функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, её производная равна нулю: $f'(1) = 0$.
Таким образом, график производной $y = f'(x)$ должен пересекать ось Ox в точке $x=1$, быть положительным (выше оси Ox) при $x < 1$ и отрицательным (ниже оси Ox) при $x > 1$. Простейшим примером такой функции является линейная функция, например, $y = -x + 1$ или любая функция вида $y = k(1-x)$, где $k > 0$.
Ниже представлен эскиз графика производной $y=f'(x)$.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой любую непрерывную линию, которая пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, расположена в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) при $x \le 1$ и в нижней полуплоскости ($y \le 0$) при $x \ge 1$. Например, это может быть прямая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

б) Аналогично пункту а), проанализируем поведение функции $y=f(x)$ и свяжем его со знаком её производной $y=f'(x)$.
Согласно условию задачи:
1. Функция $y=f(x)$ убывает на луче $(-\infty; -1]$. Значит, на этом промежутке её производная $f'(x) \le 0$. График $y=f'(x)$ лежит ниже или на оси Ox.
2. Функция $y=f(x)$ возрастает на отрезке $[-1; 3]$. Значит, на этом промежутке её производная $f'(x) \ge 0$. График $y=f'(x)$ лежит выше или на оси Ox.
3. Функция $y=f(x)$ убывает на луче $[3; +\infty)$. Значит, на этом промежутке её производная $f'(x) \le 0$. График $y=f'(x)$ снова лежит ниже или на оси Ox.
4. В точках $x=-1$ и $x=3$ происходит смена монотонности функции $f(x)$. В точке $x=-1$ убывание сменяется возрастанием (точка локального минимума), а в точке $x=3$ возрастание сменяется убыванием (точка локального максимума). В этих точках производная дифференцируемой функции равна нулю: $f'(-1) = 0$ и $f'(3) = 0$.
Следовательно, график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось Ox в точках $x=-1$ и $x=3$. Он должен быть отрицательным (ниже оси Ox) при $x < -1$ и $x > 3$, и положительным (выше оси Ox) при $-1 < x < 3$. Простейшим примером такой функции является квадратичная функция (парабола), ветви которой направлены вниз, а корни равны -1 и 3. Например, $y = -(x+1)(x-3)$ или $y = -x^2+2x+3$.
Ниже представлен эскиз графика производной $y=f'(x)$.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой любую непрерывную линию, которая пересекает ось абсцисс в точках $x=-1$ и $x=3$, расположена в нижней полуплоскости ($y \le 0$) при $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$ и в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) при $x \in [-1; 3]$. Например, это может быть парабола с ветвями, направленными вниз, пересекающая ось абсцисс в точках -1 и 3.

44.9. Изобразите эскиз графика функции $y = f(x)$, если промежутки постоянства знака производной $f'(x)$ представлены на схеме:

а) рис. 113;

б) рис. 114;

в) рис. 115;

г) рис. 116.

Рис. 113

Ось X с точками $-4$ и $3$. Знаки над осью: $+$ до $-4$, $-$ между $-4$ и $3$, $+$ после $3$.

Рис. 114

Ось X с точками $0$, $2$ и $5$. Знаки над осью: $-$ до $0$, $+$ между $0$ и $2$, $-$ между $2$ и $5$, $+$ после $5$.

Рис. 115

Ось X с точками $-2$, $4$ и $7$. Знаки над осью: $+$ до $-2$, $-$ между $-2$ и $4$, $+$ между $4$ и $7$, $-$ после $7$.

Рис. 116

Ось X с точками $-1$, $0$, $1$ и $2$. Знаки над осью: $+$ до $-1$, $+$ между $-1$ и $0$, $-$ между $0$ и $1$, $+$ между $1$ и $2$, $-$ после $2$.

а) рис. 113;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На интервале $(-\infty; -4)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $y=f(x)$ возрастает.
2. В точке $x = -4$ производная меняет знак с «+» на «–». Это означает, что $x = -4$ является точкой локального максимума функции.
3. На интервале $(-4; 3)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $y=f(x)$ убывает.
4. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+». Это означает, что $x = 3$ является точкой локального минимума функции.
5. На интервале $(3; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $y=f(x)$ снова возрастает.

Эскиз графика: График функции начинается в левой нижней части координатной плоскости, поднимается вверх до точки $x=-4$, где образует "вершину" (локальный максимум). Затем график опускается вниз, пересекая ось OY, и достигает своей "впадины" (локального минимума) в точке $x=3$. После этой точки функция вновь начинает возрастать, уходя в правую верхнюю часть. По своей форме график напоминает кубическую параболу с ветвями, направленными вверх.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-4; 3]$. Точка $x=-4$ является точкой максимума, а точка $x=3$ — точкой минимума.

б) рис. 114;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На $(-\infty; 0)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
2. В точке $x = 0$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», следовательно, $x = 0$ — точка локального минимума.
3. На $(0; 2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
4. В точке $x = 2$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», следовательно, $x = 2$ — точка локального максимума.
5. На $(2; 5)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
6. В точке $x = 5$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», следовательно, $x = 5$ — точка локального минимума.
7. На $(5; +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.

Эскиз графика: График приходит из левой верхней части плоскости, убывая до точки $x=0$, где находится локальный минимум. Затем функция возрастает до точки $x=2$, где достигается локальный максимум. После этого она снова убывает до точки $x=5$, где находится второй локальный минимум. Наконец, при $x > 5$ функция возрастает и уходит в правую верхнюю часть. График имеет форму, похожую на букву «W».

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; 5]$, возрастает на промежутках $[0; 2]$ и $[5; +\infty)$. Точки $x=0$ и $x=5$ являются точками минимума, а $x=2$ — точкой максимума.

в) рис. 115;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На $(-\infty; -2)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.
2. В точке $x = -2$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = -2$ — точка локального максимума.
3. На $(-2; 4)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.
4. В точке $x = 4$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», значит $x = 4$ — точка локального минимума.
5. На $(4; 7)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.
6. В точке $x = 7$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = 7$ — точка локального максимума.
7. На $(7; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.

Эскиз графика: График начинается в левой нижней части, возрастает до локального максимума в точке $x=-2$. Затем убывает до локального минимума в точке $x=4$. После этого снова возрастает до второго локального максимума в точке $x=7$. Наконец, при $x > 7$ функция убывает, уходя в правую нижнюю часть плоскости. График по форме напоминает перевернутую букву «W» или букву «M».

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[4; 7]$, убывает на промежутках $[-2; 4]$ и $[7; +\infty)$. Точки $x=-2$ и $x=7$ являются точками максимума, а $x=4$ — точкой минимума.

г) рис. 116;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всем промежутке $(-\infty; 0]$.
2. В точке $x = -1$ знак производной не меняется. Это означает, что в точке $x=-1$ нет экстремума. Если предположить, что в этой точке производная равна нулю ($f'(-1)=0$), то $x=-1$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной.
3. В точке $x = 0$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = 0$ — точка локального максимума.
4. На промежутке $(0; 1)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.
5. В точке $x = 1$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», значит $x = 1$ — точка локального минимума.
6. На промежутке $(1; 2)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.
7. В точке $x = 2$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = 2$ — точка локального максимума.
8. На промежутке $(2; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.

Эскиз графика: График приходит из левой нижней части, возрастает. В точке $x=-1$ график имеет точку перегиба (похоже на поведение функции $y=x^3$ в нуле), где касательная становится горизонтальной, после чего продолжает возрастать до локального максимума в точке $x=0$. Затем график убывает до локального минимума в точке $x=1$. После этого он возрастает до второго локального максимума в точке $x=2$ и, наконец, убывает при $x > 2$, уходя в правую нижнюю часть плоскости.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$, убывает на промежутках $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$. В точке $x=-1$ находится точка перегиба. Точки $x=0$ и $x=2$ являются точками максимума, а $x=1$ — точкой минимума.

44.10. Докажите, что заданная функция возрастает на $\mathbb{R}$:

а) $y = \cos x + 2x$;

б) $y = \sin x + x^3 + x$;

В) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$;

Г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$.

Для доказательства того, что дифференцируемая функция возрастает на некотором промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке неотрицательна, причем равна нулю лишь в отдельных точках. Если производная строго положительна ($y'(x) > 0$), то функция строго возрастает.

а) $y = \cos x + 2x$

Найдем производную данной функции:

$y' = (\cos x + 2x)' = -\sin x + 2$.

Мы знаем, что область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Умножая неравенство на -1, получаем: $-1 \le -\sin x \le 1$.

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы оценить значение производной:

$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$

$1 \le y' \le 3$

Поскольку производная $y' = 2 - \sin x$ всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого действительного значения $x$, функция $y = \cos x + 2x$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

б) $y = \sin x + x^3 + x$

Найдем производную данной функции:

$y' = (\sin x + x^3 + x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.

Проанализируем знак производной. Известно, что:

1. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$. Отсюда следует, что $\cos x + 1 \ge 0$.

2. Выражение $3x^2$ всегда неотрицательно: $3x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.

Производная $y' = (\cos x + 1) + 3x^2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю одновременно:

$\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2k\pi$, где $k \in Z$.

$3x^2 = 0 \implies x = 0$.

Эти два условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, хотя бы одно из слагаемых всегда строго положительно, а значит, их сумма также всегда строго положительна: $y' > 0$.

Так как $y' > 0$ для всех $x \in R$, функция $y = \sin x + x^3 + x$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

в) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^5 + 3x^3 + 7x + 4)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.

Проанализируем знак производной. Для любого действительного $x$ выражения $x^4$ и $x^2$ неотрицательны:

$x^4 \ge 0 \implies 5x^4 \ge 0$

$x^2 \ge 0 \implies 9x^2 \ge 0$

Производная $y'$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 7. Найдем ее наименьшее значение:

$y' = 5x^4 + 9x^2 + 7 \ge 5(0) + 9(0) + 7 = 7$.

Поскольку $y' \ge 7$, то $y' > 0$ для всех $x \in R$. Значит, функция $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^5 + 4x^3 + 8x - 8)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.

Проанализируем знак производной. Слагаемые $5x^4$ и $12x^2$ неотрицательны для любых $x \in R$.

$5x^4 \ge 0$

$12x^2 \ge 0$

Производная $y'$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 8. Ее наименьшее значение достигается при $x=0$:

$y' = 5x^4 + 12x^2 + 8 \ge 5(0) + 12(0) + 8 = 8$.

Поскольку $y' \ge 8$, то $y' > 0$ для всех $x \in R$. Следовательно, функция $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

44.11. Докажите, что заданная функция убывает на R:

a) $y = \sin 2x - 3x$;

б) $y = \cos 3x - 4x$.

Чтобы доказать, что дифференцируемая функция убывает на множестве всех действительных чисел $R$, достаточно показать, что её производная меньше или равна нулю для всех $x \in R$, причём равенство нулю достигается лишь в отдельных точках.

a) $y = \sin 2x - 3x$

1. Найдём производную функции.
Используем правило дифференцирования разности и правило производной сложной функции $(\sin u)' = u' \cos u$:

$y' = (\sin 2x - 3x)' = (\sin 2x)' - (3x)' = (2x)' \cos 2x - 3 = 2\cos 2x - 3$.

2. Оценим знак производной.
Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos 2x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos 2x \le 2$

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-2 - 3 \le 2\cos 2x - 3 \le 2 - 3$

$-5 \le 2\cos 2x - 3 \le -1$

Таким образом, мы получили, что $y' = 2\cos 2x - 3$ принимает только отрицательные значения, так как $-5 \le y' \le -1$.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ для всех $x \in R$, это означает, что функция $y = \sin 2x - 3x$ строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos 3x - 4x$

1. Найдём производную функции.
Используем правило дифференцирования разности и правило производной сложной функции $(\cos u)' = -u' \sin u$:

$y' = (\cos 3x - 4x)' = (\cos 3x)' - (4x)' = -(3x)' \sin 3x - 4 = -3\sin 3x - 4$.

2. Оценим знак производной.
Область значений функции синус - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin 3x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-3) \cdot 1 \le -3\sin 3x \le (-3) \cdot (-1)$

$-3 \le -3\sin 3x \le 3$

Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-3 - 4 \le -3\sin 3x - 4 \le 3 - 4$

$-7 \le -3\sin 3x - 4 \le -1$

Таким образом, мы получили, что $y' = -3\sin 3x - 4$ принимает только отрицательные значения, так как $-7 \le y' \le -1$.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ для всех $x \in R$, это означает, что функция $y = \cos 3x - 4x$ строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.