Страница 263, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.2. По графику производной функции $y = f(x)$, представленному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция $y = f(x)$ возрастает, а на каких убывает:

а) рис. 98; б) рис. 99; в) рис. 100; г) рис. 101.

Рис. 96

Рис. 97

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = f(x)$ необходимо проанализировать знак её производной $y = f'(x)$, график которой представлен на рисунке. Функция $f(x)$ возрастает на тех промежутках, где её производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает на тех, где её производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Анализируя график на Рис. 96, мы видим, что производная $f'(x)$ положительна (график находится выше оси абсцисс) на интервалах $(-\infty, a)$ и $(a, c)$. В точке $x = a$ производная равна нулю ($f'(a) = 0$), но при переходе через эту точку знак производной не меняется. Поскольку производная $f'(x)$ неотрицательна на всём промежутке $(-\infty, c)$ и обращается в нуль лишь в одной точке $x=a$, функция $f(x)$ возрастает на всём этом промежутке. В точке $x=c$ производная не определена (вертикальная асимптота), поэтому мы рассматриваем промежутки до и после этой точки отдельно.

На промежутке $(c, +\infty)$ график производной $f'(x)$ расположен ниже оси абсцисс, то есть $f'(x) < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция $f(x)$ убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, c)$, убывает на промежутке $(c, +\infty)$.

Аналогично, анализируем знак производной по её графику на Рис. 97.

Производная $f'(x) > 0$ (график выше оси $Ox$) на промежутке $(a, +\infty)$. Это означает, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[a, +\infty)$.

Производная $f'(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$) на промежутке $(-\infty, a)$. Это означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, a]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[a, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, a]$.

44.3. На каком из указанных промежутков функция $y = f(x)$ убывает, если график её производной представлен на рис. 102:

а) $(-2; 1);$

б) $(-\infty; 4);$

в) $(4; +\infty);$

г) $(-\infty; -2)?$

$y = f'(x)$

Рис. 98

$y = f'(x)$

Рис. 99

$y = f'(x)$

Рис. 100

$y = f'(x)$

Рис. 101

$y = f'(x)$

Рис. 102

Функция $y = f(x)$ убывает на тех промежутках, на которых её производная $f'(x)$ отрицательна. По условию, на рисунке 102 представлен график производной $y = f'(x)$. Следовательно, для нахождения промежутков убывания исходной функции необходимо определить, на каких промежутках график её производной находится ниже оси абсцисс (оси Ox).

Рассмотрим график на рисунке 102.

Мы видим, что график функции $y = f'(x)$ пересекает ось Ox в точке $x = 4$.

• При $x < 4$ график расположен выше оси Ox, что означает $f'(x) > 0$. На этом интервале функция $f(x)$ возрастает.
• При $x > 4$ график расположен ниже оси Ox, что означает $f'(x) < 0$. На этом интервале функция $f(x)$ убывает.

Следовательно, функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $(4; +\infty)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту в).

Ответ: в) $(4; +\infty)$