Страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.66. a) Найдите значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = x^3 + a^2x - a$ в точке $x = -1$ проходит через точку $M(1; 7).

б) Найдите значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = x^4 - 3x^3 + 2a$ в точке $x = -2$ проходит через точку $M(-1; -8).

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В данном случае, функция $f(x) = x^3 + a^2x - a$ и точка касания $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = (-1)^3 + a^2(-1) - a = -1 - a^2 - a$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + a^2x - a)' = 3x^2 + a^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(-1) = 3(-1)^2 + a^2 = 3 + a^2$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = (-1 - a^2 - a) + (3 + a^2)(x + 1)$.

5. По условию, касательная проходит через точку $M(1; 7)$. Подставим координаты этой точки в уравнение касательной:

$7 = (-1 - a^2 - a) + (3 + a^2)(1 + 1)$

$7 = -1 - a^2 - a + (3 + a^2) \cdot 2$

$7 = -1 - a^2 - a + 6 + 2a^2$

$7 = 5 + a^2 - a$

6. Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 - a + 5 - 7 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

Используя теорему Виета или формулу корней, находим корни:

$a_1 = 2$, $a_2 = -1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 2$.

Аналогично, используем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Функция $f(x) = x^4 - 3x^3 + 2a$ и точка касания $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = (-2)^4 - 3(-2)^3 + 2a = 16 - 3(-8) + 2a = 16 + 24 + 2a = 40 + 2a$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 3x^3 + 2a)' = 4x^3 - 9x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 4(-2)^3 - 9(-2)^2 = 4(-8) - 9(4) = -32 - 36 = -68$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$

$y = (40 + 2a) - 68(x + 2)$.

5. По условию, касательная проходит через точку $M(-1; -8)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-8 = (40 + 2a) - 68(-1 + 2)$

$-8 = 40 + 2a - 68(1)$

$-8 = 40 + 2a - 68$

$-8 = 2a - 28$

6. Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$2a = 28 - 8$

$2a = 20$

$a = 10$.

Ответ: $a = 10$.

43.67. a) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 - 5}$ в точке $x = 3$.

б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 - 9}$ в точке $x = 5$.

а)

Треугольник образован тремя прямыми: биссектрисами координатных углов, которые задаются уравнениями $y=x$ и $y=-x$, и касательной к графику функции $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

1. Найдем уравнение касательной.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала определим координаты точки касания. Абсцисса $x_0 = 3$.
Ордината $y_0 = f(3) = \sqrt{3^2 - 5} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2$.
Точка касания: $(3, 2)$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$:
$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 5})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5}} \cdot (x^2 - 5)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 5}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = f'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y - y_0 = k(x - x_0) \Rightarrow y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3)$
$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.

2. Найдем вершины треугольника.
Вершины треугольника являются точками пересечения трех прямых: $y=x$, $y=-x$ и $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.
- Вершина A: Пересечение биссектрис $y=x$ и $y=-x$.
$x = -x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0, y=0$. Таким образом, вершина A(0, 0).
- Вершина B: Пересечение касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$ и биссектрисы $y=x$.
$x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{3}{2}x - x \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{1}{2}x \Rightarrow x=5$. Так как $y=x$, то $y=5$. Таким образом, вершина B(5, 5).
- Вершина C: Пересечение касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$ и биссектрисы $y=-x$.
$-x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{3}{2}x + x \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{5}{2}x \Rightarrow x=1$. Так как $y=-x$, то $y=-1$. Таким образом, вершина C(1, -1).

3. Найдем площадь треугольника.
Площадь треугольника с вершинами в точках A($x_A, y_A$), B($x_B, y_B$), C($x_C, y_C$), где A - начало координат, вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B|$.
Подставляем координаты вершин B(5, 5) и C(1, -1):
$S = \frac{1}{2} |5 \cdot (-1) - 1 \cdot 5| = \frac{1}{2} |-5 - 5| = \frac{1}{2} |-10| = 5$.
Ответ: 5.

б)

Аналогично, треугольник образован прямыми $y=x$, $y=-x$ и касательной к графику функции $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ в точке с абсциссой $x_0 = 5$.

1. Найдем уравнение касательной.
Найдем координаты точки касания: $x_0 = 5$.
$y_0 = f(5) = \sqrt{5^2 - 9} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Точка касания: $(5, 4)$.
Найдем производную: $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}}$.
Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 5$:
$k = f'(5) = \frac{5}{\sqrt{5^2 - 9}} = \frac{5}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$.
Уравнение касательной:
$y - 4 = \frac{5}{4}(x - 5)$
$y = 4 + \frac{5}{4}x - \frac{25}{4} \Rightarrow y = \frac{16-25}{4} + \frac{5}{4}x \Rightarrow y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}$.

2. Найдем вершины треугольника.
- Вершина A: Пересечение $y=x$ и $y=-x$ дает точку A(0, 0).
- Вершина B: Пересечение касательной $y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}$ и $y=x$.
$x = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{4}x \Rightarrow x=9$. Так как $y=x$, то $y=9$. Вершина B(9, 9).
- Вершина C: Пересечение касательной $y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}$ и $y=-x$.
$-x = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{9}{4}x \Rightarrow x=1$. Так как $y=-x$, то $y=-1$. Вершина C(1, -1).

3. Найдем площадь треугольника.
Используем ту же формулу для площади с вершинами A(0, 0), B(9, 9) и C(1, -1):
$S = \frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B| = \frac{1}{2} |9 \cdot (-1) - 1 \cdot 9| = \frac{1}{2} |-9 - 9| = \frac{1}{2} |-18| = 9$.
Ответ: 9.

43.68. а) Прямая $y = 6x - 7$ касается параболы $y = x^2 + bx + c$ в точке $M(2; 5)$. Найдите значения коэффициентов $b$ и $c$.

б) Прямая $y = 7x - 10$ касается параболы $y = ax^2 + bx + c$ в точке $x = 2$. Найдите значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке $x = 1$.

а)

Даны прямая $y = 6x - 7$ и парабола $y = x^2 + bx + c$. Они касаются в точке $M(2; 5)$. Нам нужно найти значения коэффициентов $b$ и $c$.

1. Поскольку точка касания $M(2; 5)$ принадлежит параболе, её координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x=2$ и $y=5$ в уравнение $y = x^2 + bx + c$:
$5 = (2)^2 + b(2) + c$
$5 = 4 + 2b + c$
$2b + c = 1$

2. В точке касания угловой коэффициент касательной к параболе равен угловому коэффициенту самой прямой. Угловой коэффициент прямой $y = 6x - 7$ равен $6$.

Найдем производную функции параболы $y = x^2 + bx + c$, которая определяет ее угловой коэффициент в любой точке $x$:
$y' = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$

В точке касания абсцисса равна $x=2$. Вычислим значение производной в этой точке:
$y'(2) = 2(2) + b = 4 + b$

Приравниваем угловой коэффициент параболы в точке касания к угловому коэффициенту прямой:
$4 + b = 6$
Отсюда находим $b$:
$b = 6 - 4$
$b = 2$

3. Теперь, зная значение $b=2$, найдем $c$ из уравнения, полученного в первом пункте: $2b + c = 1$.
$2(2) + c = 1$
$4 + c = 1$
$c = 1 - 4$
$c = -3$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.
Ответ: $b = 2, c = -3$.

б)

Даны прямая $y = 7x - 10$ и парабола $y = ax^2 + bx + c$. Известно, что они касаются в точке с абсциссой $x=2$, и парабола пересекает ось абсцисс в точке $x=1$. Нам нужно найти три неизвестных коэффициента: $a, b, c$. Для этого составим систему из трех уравнений, используя все предоставленные условия.

1. Условие касания (координаты точки).
Найдем ординату точки касания, подставив $x=2$ в уравнение прямой, так как точка касания лежит на прямой:
$y = 7(2) - 10 = 14 - 10 = 4$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 4)$. Эта точка также принадлежит параболе, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы:
$4 = a(2)^2 + b(2) + c$
$4a + 2b + c = 4$ (Уравнение 1)

2. Условие касания (равенство производных).
Угловой коэффициент касательной (прямой $y=7x-10$) равен $7$. Производная функции параболы $y' = (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$. В точке касания при $x=2$ значение производной должно быть равно $7$:
$y'(2) = 2a(2) + b = 7$
$4a + b = 7$ (Уравнение 2)

3. Условие пересечения оси абсцисс.
Парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точке $x=1$. Это означает, что точка с координатами $(1; 0)$ принадлежит параболе. Подставим $x=1$ и $y=0$ в уравнение параболы:
$0 = a(1)^2 + b(1) + c$
$a + b + c = 0$ (Уравнение 3)

4. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1) $4a + 2b + c = 4$
(2) $4a + b = 7$
(3) $a + b + c = 0$

Из Уравнения 2 выразим $b$ через $a$:
$b = 7 - 4a$

Подставим это выражение для $b$ в Уравнение 3:
$a + (7 - 4a) + c = 0$
$-3a + 7 + c = 0$
Выразим $c$ через $a$:
$c = 3a - 7$

Теперь подставим выражения для $b$ и $c$ в Уравнение 1:
$4a + 2(7 - 4a) + (3a - 7) = 4$
$4a + 14 - 8a + 3a - 7 = 4$
Сгруппируем члены с $a$ и свободные члены:
$(4 - 8 + 3)a + (14 - 7) = 4$
$-a + 7 = 4$
$-a = 4 - 7$
$-a = -3$
$a = 3$

Теперь, зная $a=3$, последовательно находим $b$ и $c$:
$b = 7 - 4a = 7 - 4(3) = 7 - 12 = -5$
$c = 3a - 7 = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$

Итак, мы нашли все три коэффициента.
Ответ: $a=3, b=-5, c=2$.

43.69. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе $y = \frac{a^2}{x}$ и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертёж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе.

Доказательство того, что треугольник, образованный касательной к гиперболе и осями координат, имеет постоянную площадь

Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением $y = \frac{a^2}{x}$. Пусть $M(x_0, y_0)$ — произвольная точка на этой гиперболе, в которой мы проводим касательную. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть $y_0 = \frac{a^2}{x_0}$.

Для того чтобы найти уравнение касательной, сначала найдем производную функции $y(x)$:
$y' = \left(\frac{a^2}{x}\right)' = a^2 \cdot (x^{-1})' = a^2 \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = -\frac{a^2}{x^2}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной в точке $M(x_0, y_0)$ равен значению производной в этой точке:
$k = y'(x_0) = -\frac{a^2}{x_0^2}$.

Уравнение касательной, проходящей через точку $M(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид:
$y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставим известные значения $y_0$ и $k$:
$y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0)$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат.
1. Пересечение с осью ординат (осью Oy). Для этого положим $x = 0$:
$y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}(0 - x_0) \Rightarrow y - \frac{a^2}{x_0} = \frac{a^2}{x_0} \Rightarrow y = \frac{2a^2}{x_0}$.
Пусть точка пересечения с осью Oy будет точка B. Ее координаты $B\left(0, \frac{2a^2}{x_0}\right)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox). Для этого положим $y = 0$:
$0 - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0) \Rightarrow -\frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{a^2}{x_0} \Rightarrow \frac{a^2}{x_0^2}x = \frac{2a^2}{x_0}$.
Отсюда $x = \frac{2a^2}{x_0} \cdot \frac{x_0^2}{a^2} = 2x_0$.
Пусть точка пересечения с осью Ox будет точка A. Ее координаты $A(2x_0, 0)$.

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным треугольником $OAB$, где $O(0,0)$ — начало координат. Его катеты лежат на осях координат и имеют длины $OA = |2x_0|$ и $OB = \left|\frac{2a^2}{x_0}\right|$.

Площадь этого треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot \left|\frac{2a^2}{x_0}\right| = \frac{1}{2} \cdot \left|4a^2\right| = 2|a^2|$.
Так как $a^2$ всегда неотрицательно, то $S = 2a^2$.

Полученное значение площади зависит только от параметра $a$ гиперболы и не зависит от выбора точки касания $M(x_0, y_0)$. Следовательно, площадь треугольника постоянна.

Ответ: Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе $y = \frac{a^2}{x}$ и осями координат, постоянна и равна $2a^2$.

Доказательство того, что точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника

Как было показано выше, касательная к гиперболе в точке $M(x_0, y_0)$ образует с осями координат прямоугольный треугольник $OAB$ с вершинами в точках $O(0,0)$, $A(2x_0, 0)$ и $B\left(0, \frac{2a^2}{x_0}\right)$.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. В треугольнике $OAB$ гипотенузой является отрезок $AB$.

Найдем координаты середины гипотенузы $AB$. Пусть это будет точка $C(x_c, y_c)$. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма координат его концов:
$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2x_0 + 0}{2} = x_0$.
$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + \frac{2a^2}{x_0}}{2} = \frac{a^2}{x_0}$.

Таким образом, центр описанной окружности имеет координаты $C\left(x_0, \frac{a^2}{x_0}\right)$.

Координаты точки касания $M$ были $M(x_0, y_0)$, и так как точка $M$ лежит на гиперболе, $y_0 = \frac{a^2}{x_0}$. Следовательно, координаты точки касания $M\left(x_0, \frac{a^2}{x_0}\right)$.

Сравнивая координаты точки $C$ и точки $M$, мы видим, что они совпадают. Это доказывает, что точка касания является центром окружности, описанной около треугольника $OAB$.

Ответ: Точка касания является серединой отрезка, отсекаемого касательной на осях координат, что для образованного прямоугольного треугольника совпадает с центром описанной окружности.

Геометрический способ построения касательной к гиперболе

Из предыдущих доказательств следует, что точка касания $M(x_0, y_0)$ является серединой отрезка $AB$, где $A$ и $B$ — точки пересечения касательной с осями Ox и Oy соответственно. При этом $A$ имеет координаты $(2x_0, 0)$, а $B$ — $(0, 2y_0)$, где $y_0 = a^2/x_0$.

Это свойство позволяет предложить простой геометрический способ построения касательной в заданной точке $P(x_p, y_p)$ на гиперболе.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана точка $P$ на гиперболе. Опустим из точки $P$ перпендикуляр на ось Ox. Пусть основание этого перпендикуляра — точка $P_x$. Координаты $P_x$ равны $(x_p, 0)$.
2. На оси Ox отложим от начала координат $O$ отрезок $OA$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OP_x$. То есть, $OA = 2 \cdot OP_x$. Точка $A$ будет иметь координаты $(2x_p, 0)$.
3. Соединим прямой линией точку $A$ и заданную точку $P$. Эта прямая $AP$ и будет являться искомой касательной к гиперболе в точке $P$.

Аналогичное построение можно выполнить с использованием оси Oy: опустить перпендикуляр из $P$ на ось Oy в точку $P_y$, отложить отрезок $OB = 2 \cdot OP_y$ и провести прямую через точки $B$ и $P$. Результат будет тем же.

Ответ: Чтобы построить касательную в точке $P$ на гиперболе, нужно из $P$ опустить перпендикуляр на ось абсцисс в точку $P_x$, затем на оси абсцисс найти точку $A$ такую, что $OA = 2 \cdot OP_x$. Прямая, проходящая через точки $A$ и $P$, является касательной.

43.70. Докажите, что касательная к параболе $y = x^2$ в точке $x = a$ делит пополам отрезок $[0; a]$ оси абсцисс. Рассмотрев чертёж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию $y = x^n$, где $n$ — натуральное число, большее 2.

Доказательство для параболы $y = x^2$

Требуется доказать, что касательная к параболе $y = x^2$ в точке с абсциссой $x = a$ делит пополам отрезок $[0; a]$ на оси абсцисс.

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = a$. Координаты точки касания: $M(a, f(a))$, то есть $M(a, a^2)$.

2. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

3. Значение производной в точке $x_0 = a$ равно угловому коэффициенту (наклону) касательной в этой точке: $k = f'(a) = 2a$.

4. Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим наши значения:

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - 2a^2 + a^2$

$y = 2ax - a^2$

5. Чтобы найти точку пересечения касательной с осью абсцисс (осью Ox), нужно положить $y = 0$:

$0 = 2ax - a^2$

$2ax = a^2$

При $a \neq 0$, получим $x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}$. Если $a = 0$, то точка касания — начало координат, касательная — это сама ось абсцисс ($y=0$), и точка пересечения $x=0$, что также удовлетворяет формуле $x=a/2$.

6. Таким образом, касательная пересекает ось абсцисс в точке с координатой $x = \frac{a}{2}$.

7. Отрезок оси абсцисс, о котором идёт речь в задаче, — это $[0; a]$. Координата его середины равна $\frac{0+a}{2} = \frac{a}{2}$.

Поскольку абсцисса точки пересечения касательной с осью Ox совпадает с координатой середины отрезка $[0; a]$, утверждение доказано.

Ответ: Абсцисса точки пересечения касательной к параболе $y=x^2$ в точке $x=a$ с осью Ox равна $\frac{a}{2}$, что является координатой середины отрезка $[0; a]$ на этой оси.

Геометрический способ построения касательной к параболе

Основываясь на доказанном выше свойстве, можно предложить следующий простой геометрический способ построения касательной к параболе $y = x^2$ в произвольной точке $P$ на ней.

1. Пусть $P(a, a^2)$ — точка на параболе, в которой нужно построить касательную.

2. Опустим перпендикуляр из точки $P$ на ось абсцисс. Основание этого перпендикуляра — точка $P_x(a, 0)$.

3. Найдём середину $M$ отрезка $[0; a]$ на оси абсцисс (отрезок от начала координат $O(0,0)$ до точки $P_x$). Координаты точки $M$ будут $(\frac{a}{2}, 0)$.

4. Проведём прямую через точку касания $P$ и найденную точку $M$.

Полученная прямая $MP$ является касательной к параболе $y=x^2$ в точке $P$.

Ответ: Чтобы построить касательную к параболе в точке $P(a, a^2)$, необходимо соединить эту точку прямой с точкой $M(\frac{a}{2}, 0)$ на оси абсцисс, которая является серединой отрезка $[0, a]$.

Обобщение для функции $y = x^n$

Обобщим полученный результат для степенной функции $y = x^n$, где $n$ — натуральное число, большее 2.

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^n$ в точке с абсциссой $x_0 = a$. Точка касания: $M(a, a^n)$.

2. Производная функции: $f'(x) = nx^{n-1}$.

3. Угловой коэффициент касательной в точке $x=a$: $k = f'(a) = na^{n-1}$.

4. Уравнение касательной: $y - a^n = na^{n-1}(x - a)$.

5. Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс ($y=0$):

$-a^n = na^{n-1}(x-a)$

$-a^n = na^{n-1}x - na^n$

$na^{n-1}x = na^n - a^n = (n-1)a^n$

При $a \neq 0$, абсцисса точки пересечения равна: $x = \frac{(n-1)a^n}{na^{n-1}} = \frac{n-1}{n}a$.

Обобщенный результат: Касательная к графику функции $y = x^n$ в точке с абсциссой $a$ пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{n-1}{n}a$. Эта точка делит отрезок $[0; a]$ в отношении $(n-1):1$, считая от начала координат.

Обобщенный способ построения касательной:

1. Пусть $P(a, a^n)$ — точка на кривой $y=x^n$.

2. Найдём на оси абсцисс точку $M$, которая делит отрезок $[0, a]$ в отношении $(n-1):1$. Её координата $x_M = \frac{n-1}{n}a$.

3. Проведём прямую через точки $P$ и $M$. Эта прямая и будет касательной.

Ответ: Касательная к кривой $y = x^n$ в точке с абсциссой $x=a$ пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{n-1}{n}a$. Геометрический способ построения заключается в проведении прямой через точку касания $P(a, a^n)$ и точку $M$ на оси абсцисс с координатой $x_M = \frac{n-1}{n}a$.

44.1. Определите, какой знак имеет производная функции $y = f(x)$ в точках с абсциссами $a, b, c, d$:

а) рис. 96;

б) рис. 97.

Для определения знака производной функции $y = f(x)$ в некоторой точке по ее графику используется геометрический смысл производной. Знак производной $f'(x)$ в точке $x_0$ связан с поведением (монотонностью) функции в этой точке:

• Если функция $f(x)$ в точке возрастает (при движении слева направо график идет вверх), то ее производная в этой точке положительна: $f'(x_0) > 0$.
• Если функция $f(x)$ в точке убывает (при движении слева направо график идет вниз), то ее производная в этой точке отрицательна: $f'(x_0) < 0$.
• Если в точке $x_0$ находится точка экстремума (локальный максимум или минимум, то есть "вершина" или "впадина" графика), то касательная к графику в этой точке горизонтальна, а производная равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Поскольку сами графики (рис. 96 и рис. 97) не предоставлены, дать однозначный ответ для каждого случая невозможно. Решение будет основано на общем принципе, который нужно применить к конкретным графикам.

а) рис. 96;

Для определения знаков производной в точках с абсциссами $a, b, c, d$ по графику на рис. 96, необходимо визуально оценить направление движения графика в каждой из этих точек.

• В точке a: Если функция возрастает, то $f'(a) > 0$. Если убывает, то $f'(a) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(a) = 0$.
• В точке b: Если функция возрастает, то $f'(b) > 0$. Если убывает, то $f'(b) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(b) = 0$.
• В точке c: Если функция возрастает, то $f'(c) > 0$. Если убывает, то $f'(c) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(c) = 0$.
• В точке d: Если функция возрастает, то $f'(d) > 0$. Если убывает, то $f'(d) < 0$. Если это точка экстремума, то $f'(d) = 0$.

Ответ: Для предоставления ответа необходимо изображение "рис. 96".

б) рис. 97.

Аналогично пункту а), для определения знаков производной в точках с абсциссами $a, b, c, d$ по графику на рис. 97, необходимо проанализировать поведение функции в каждой из этих точек.

• В точке a: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(a) > 0$), убывает ли (тогда $f'(a) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(a) = 0$).
• В точке b: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(b) > 0$), убывает ли (тогда $f'(b) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(b) = 0$).
• В точке c: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(c) > 0$), убывает ли (тогда $f'(c) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(c) = 0$).
• В точке d: Нужно определить, возрастает ли функция (тогда $f'(d) > 0$), убывает ли (тогда $f'(d) < 0$), или в этой точке находится экстремум (тогда $f'(d) = 0$).

Ответ: Для предоставления ответа необходимо изображение "рис. 97".