Номер 43.66, страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.66. a) Найдите значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = x^3 + a^2x - a$ в точке $x = -1$ проходит через точку $M(1; 7).

б) Найдите значение параметра $a$, при котором касательная к графику функции $y = x^4 - 3x^3 + 2a$ в точке $x = -2$ проходит через точку $M(-1; -8).

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В данном случае, функция $f(x) = x^3 + a^2x - a$ и точка касания $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = (-1)^3 + a^2(-1) - a = -1 - a^2 - a$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + a^2x - a)' = 3x^2 + a^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$ (угловой коэффициент касательной):

$f'(-1) = 3(-1)^2 + a^2 = 3 + a^2$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = (-1 - a^2 - a) + (3 + a^2)(x + 1)$.

5. По условию, касательная проходит через точку $M(1; 7)$. Подставим координаты этой точки в уравнение касательной:

$7 = (-1 - a^2 - a) + (3 + a^2)(1 + 1)$

$7 = -1 - a^2 - a + (3 + a^2) \cdot 2$

$7 = -1 - a^2 - a + 6 + 2a^2$

$7 = 5 + a^2 - a$

6. Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 - a + 5 - 7 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

Используя теорему Виета или формулу корней, находим корни:

$a_1 = 2$, $a_2 = -1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 2$.

Аналогично, используем уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Функция $f(x) = x^4 - 3x^3 + 2a$ и точка касания $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = (-2)^4 - 3(-2)^3 + 2a = 16 - 3(-8) + 2a = 16 + 24 + 2a = 40 + 2a$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 3x^3 + 2a)' = 4x^3 - 9x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 4(-2)^3 - 9(-2)^2 = 4(-8) - 9(4) = -32 - 36 = -68$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = f(-2) + f'(-2)(x - (-2))$

$y = (40 + 2a) - 68(x + 2)$.

5. По условию, касательная проходит через точку $M(-1; -8)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-8 = (40 + 2a) - 68(-1 + 2)$

$-8 = 40 + 2a - 68(1)$

$-8 = 40 + 2a - 68$

$-8 = 2a - 28$

6. Решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$2a = 28 - 8$

$2a = 20$

$a = 10$.

Ответ: $a = 10$.