Номер 43.62, страница 261, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.62. а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций $y = x^2 - x + 1$ и $y = x^2 + 5x + 4$.

б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций $y = x^2$ и $y = -x^2 - 8$.

а)

Пусть уравнение общей касательной имеет вид $y = kx + b$. Эта прямая должна касаться каждого из графиков функций. Условие касания прямой и параболы заключается в том, что система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь ровно одно решение. Это эквивалентно тому, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю.

1. Касание с графиком функции $y = x^2 - x + 1$:
Приравняем уравнения прямой и параболы:
$x^2 - x + 1 = kx + b$
$x^2 - x - kx + 1 - b = 0$
$x^2 - (1+k)x + (1-b) = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
$D_1 = (-(1+k))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1-b) = 0$
$(1+k)^2 - 4(1-b) = 0$
$1 + 2k + k^2 - 4 + 4b = 0$
$k^2 + 2k + 4b - 3 = 0$ (1)

2. Касание с графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$:
Приравняем уравнения прямой и параболы:
$x^2 + 5x + 4 = kx + b$
$x^2 + 5x - kx + 4 - b = 0$
$x^2 + (5-k)x + (4-b) = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
$D_2 = (5-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4-b) = 0$
$25 - 10k + k^2 - 16 + 4b = 0$
$k^2 - 10k + 4b + 9 = 0$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:
$\begin{cases} k^2 + 2k + 4b - 3 = 0 \\ k^2 - 10k + 4b + 9 = 0 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(k^2 + 2k + 4b - 3) - (k^2 - 10k + 4b + 9) = 0$
$12k - 12 = 0$
$12k = 12$
$k = 1$
Подставим найденное значение $k=1$ в первое уравнение системы:
$1^2 + 2(1) + 4b - 3 = 0$
$1 + 2 + 4b - 3 = 0$
$4b = 0$
$b = 0$
Таким образом, уравнение общей касательной: $y = 1 \cdot x + 0$, то есть $y=x$.

Ответ: $y=x$

б)

Сначала найдем уравнения общих касательных к графикам функций $y = x^2$ и $y = -x^2 - 8$. Пусть уравнение касательной имеет вид $y = kx + b$. Аналогично пункту а), составим систему уравнений, исходя из условия равенства нулю дискриминантов.

1. Касание с графиком функции $y = x^2$:
$x^2 = kx + b$
$x^2 - kx - b = 0$
$D_1 = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-b) = 0$
$k^2 + 4b = 0$ (1)

2. Касание с графиком функции $y = -x^2 - 8$:
$-x^2 - 8 = kx + b$
$x^2 + kx + (8+b) = 0$
$D_2 = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8+b) = 0$
$k^2 - 4(8+b) = 0$
$k^2 - 32 - 4b = 0$ (2)

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} k^2 + 4b = 0 \\ k^2 - 4b - 32 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $k^2 = -4b$. Подставим во второе уравнение:
$(-4b) - 4b - 32 = 0$
$-8b = 32$
$b = -4$
Теперь найдем $k$:
$k^2 = -4b = -4(-4) = 16$
$k = \pm\sqrt{16}$, то есть $k_1 = 4$ и $k_2 = -4$.
Таким образом, мы имеем две общие касательные:
Первая касательная: $y = 4x - 4$
Вторая касательная: $y = -4x - 4$

Теперь найдем точку пересечения этих двух касательных. Для этого приравняем их правые части:
$4x - 4 = -4x - 4$
$8x = 0$
$x = 0$
Подставим найденное значение $x=0$ в уравнение любой из касательных, чтобы найти $y$:
$y = 4(0) - 4 = -4$
Следовательно, точка пересечения общих касательных имеет координаты $(0, -4)$.

Ответ: $(0, -4)$