Номер 43.64, страница 261, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.64. Докажите, что параболы $y = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $y = \frac{(x+1)^2}{2}$ перпендикулярны в точке их пересечения.

Для того чтобы доказать, что две кривые перпендикулярны в точке их пересечения, необходимо показать, что их касательные в этой точке перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух прямых (не вертикальных и не горизонтальных) является равенство произведения их угловых коэффициентов -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$). Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в данной точке.

1. Найдем точку пересечения парабол.

Приравняем уравнения парабол $y = \frac{(x-1)^2}{2}$ и $y = \frac{(x+1)^2}{2}$:$$ \frac{(x-1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} $$Умножим обе части уравнения на 2:$$ (x-1)^2 = (x+1)^2 $$Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:$$ x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:$$ -2x = 2x $$$$ 4x = 0 $$$$ x = 0 $$Теперь найдем координату $y$, подставив $x = 0$ в уравнение любой из парабол:$$ y = \frac{(0-1)^2}{2} = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} $$Таким образом, параболы пересекаются в единственной точке с координатами $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.

2. Найдем производные функций.

Найдем производную для первой параболы $y_1(x) = \frac{(x-1)^2}{2}$:$$ y_1'(x) = \left(\frac{1}{2}(x-1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1)^{2-1} \cdot (x-1)' = x-1 $$Найдем производную для второй параболы $y_2(x) = \frac{(x+1)^2}{2}$:$$ y_2'(x) = \left(\frac{1}{2}(x+1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1)^{2-1} \cdot (x+1)' = x+1 $$

3. Найдем угловые коэффициенты касательных в точке пересечения.

Вычислим значения производных в точке $x = 0$ (абсцисса точки пересечения), чтобы найти угловые коэффициенты касательных $k_1$ и $k_2$:Угловой коэффициент касательной к первой параболе:$$ k_1 = y_1'(0) = 0 - 1 = -1 $$Угловой коэффициент касательной ко второй параболе:$$ k_2 = y_2'(0) = 0 + 1 = 1 $$

4. Проверим условие перпендикулярности касательных.

Найдем произведение угловых коэффициентов:$$ k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1 $$Поскольку произведение угловых коэффициентов касательных в точке пересечения равно -1, касательные перпендикулярны. Это доказывает, что и сами параболы перпендикулярны в точке их пересечения.

Ответ: Утверждение доказано.