Номер 43.58, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.58. a) При каких значениях параметра $a$ прямая $y = ax + 1$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x + 1}$?

б) При каких значениях параметра $a$ прямая $y = 2x + a$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 1}$?

а) Для того чтобы прямая $y = ax + 1$ была касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$ в некоторой точке $x_0$, должны одновременно выполняться два условия: равенство значений функций в этой точке ($f(x_0) = ax_0 + 1$) и равенство производной функции угловому коэффициенту прямой ($f'(x_0) = a$).

Сначала найдем область определения функции $f(x)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $4x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1/4$.

Заметим, что прямая $y = ax + 1$ при любом значении параметра $a$ проходит через точку с координатами $(0, 1)$, так как при $x=0$, $y = a \cdot 0 + 1 = 1$. Проверим, принадлежит ли эта точка графику функции $f(x)$. При $x=0$, $f(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.

Поскольку точка $(0, 1)$ является общей для прямой и графика функции при любом $a$, то если касание и существует, оно должно произойти именно в этой точке. Таким образом, точка касания $x_0 = 0$.

Теперь используем второе условие касания: $a = f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4x + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} \cdot (4x + 1)' = \frac{4}{2\sqrt{4x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 0 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$

Следовательно, угловой коэффициент касательной $a$ должен быть равен $2$.

Ответ: $a=2$.

б) Условия касания прямой $y = 2x + a$ и графика функции $f(x) = \sqrt{4x - 1}$ в точке $x_0$ аналогичны: значения функций должны быть равны, и производная функции должна быть равна угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент данной прямой равен 2.

Условия касания в точке $x_0$:

1. $f(x_0) = 2x_0 + a$

2. $f'(x_0) = 2$

Область определения функции $f(x)$: $4x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1/4$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4x - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x - 1}} \cdot (4x - 1)' = \frac{4}{2\sqrt{4x - 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}}$

Теперь используем второе условие $f'(x_0) = 2$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{2}{\sqrt{4x_0 - 1}} = 2$

Разделив обе части на 2, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{4x_0 - 1}} = 1$

Отсюда следует, что $\sqrt{4x_0 - 1} = 1$. Возведя обе части в квадрат, имеем:

$4x_0 - 1 = 1$

$4x_0 = 2$

$x_0 = \frac{1}{2}$

Найденное значение $x_0 = 1/2$ принадлежит области определения функции ($1/2 \ge 1/4$).

Теперь, зная $x_0$, используем первое условие ($f(x_0) = 2x_0 + a$) для нахождения параметра $a$:

$a = f(x_0) - 2x_0$

Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1/2$:

$f(1/2) = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для $a$:

$a = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$

Следовательно, при $a=0$ прямая $y = 2x$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 1}$ в точке $x=1/2$.

Ответ: $a=0$.