Номер 43.51, страница 259, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.51. a) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3, x > 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{2}{3}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3, x < 0$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{27}{8}$.

а)

Найдём общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x^3$ в произвольной точке с абсциссой $x_0$. Уравнение касательной имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Найдём производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = x_0^3$. Значение производной в точке касания: $f'(x_0) = 3x_0^2$. Подставив эти значения, получим уравнение касательной: $y = x_0^3 + 3x_0^2(x - x_0) = x_0^3 + 3x_0^2 x - 3x_0^3 = 3x_0^2 x - 2x_0^3$.

Теперь найдём точки пересечения этой касательной с осями координат. Для пересечения с осью Oy, подставим $x=0$: $y_{пер} = 3x_0^2 \cdot 0 - 2x_0^3 = -2x_0^3$. Для пересечения с осью Ox, подставим $y=0$: $0 = 3x_0^2 x_{пер} - 2x_0^3$. Поскольку по условию $x > 0$, точка касания $x_0 \neq 0$, поэтому можно разделить на $3x_0^2$: $x_{пер} = \frac{2x_0^3}{3x_0^2} = \frac{2}{3}x_0$.

Касательная отсекает от осей координат прямоугольный треугольник. Его катеты равны модулям координат точек пересечения. Площадь этого треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |x_{пер}| \cdot |y_{пер}| = \frac{1}{2} \left| \frac{2}{3}x_0 \right| \cdot |-2x_0^3| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}|x_0| \cdot 2|x_0^3| = \frac{2}{3}|x_0^4|$. Так как $x_0^4$ всегда неотрицательно, $S = \frac{2}{3}x_0^4$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $\frac{2}{3}$. Составим уравнение: $\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{2}{3}$. Отсюда следует, что $x_0^4 = 1$. Учитывая условие $x > 0$, получаем единственный корень $x_0 = 1$.

Подставим найденное значение $x_0 = 1$ в общее уравнение касательной $y = 3x_0^2 x - 2x_0^3$: $y = 3(1)^2 x - 2(1)^3 = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.

б)

Для этого пункта используется тот же подход, что и в пункте а). Общее уравнение касательной к графику $y=x^3$ и формула для площади отсекаемого треугольника остаются прежними: $y = 3x_0^2 x - 2x_0^3$ и $S = \frac{2}{3}x_0^4$. Однако, в этом случае условие на абсциссу точки касания $x_0 < 0$.

По условию, площадь треугольника равна $\frac{27}{8}$. Составим и решим уравнение: $\frac{2}{3}x_0^4 = \frac{27}{8}$. $x_0^4 = \frac{27}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{16}$. Из этого уравнения находим два действительных корня: $x_0 = \pm\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \pm\frac{3}{2}$.

Согласно условию задачи $x < 0$, мы должны выбрать отрицательный корень: $x_0 = -\frac{3}{2}$. Подставим это значение в уравнение касательной: $y = 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 x - 2\left(-\frac{3}{2}\right)^3 = 3\left(\frac{9}{4}\right)x - 2\left(-\frac{27}{8}\right)$. $y = \frac{27}{4}x + \frac{54}{8} = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$.

Ответ: $y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$.