Номер 43.45, страница 258, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.45. Проведите касательную к графику функции $y = x^2 + 1$, проходящую через точку A, не принадлежащую этому графику, если:

а) $A(-1; -2)$;

б) $A(0; 0)$;

в) $A(0; -3)$;

г) $A(-1; 1)$.

Общий подход для решения всех подпунктов:Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Для нашей функции $f(x) = x^2 + 1$, найдем производную:$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.Тогда $f(x_0) = x_0^2 + 1$ и $f'(x_0) = 2x_0$.Подставим эти значения в общее уравнение касательной:$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$$y = x_0^2 + 1 + 2x_0x - 2x_0^2$$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$Это уравнение касательной к графику функции в произвольной точке $x_0$. Нам нужно, чтобы эта касательная проходила через заданную точку A. Для этого подставим координаты точки A в уравнение касательной и найдем значение $x_0$.

а) A(-1; -2)

Подставим координаты точки $A(x=-1, y=-2)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$-2 = 2x_0(-1) - x_0^2 + 1$$-2 = -2x_0 - x_0^2 + 1$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x_0$:$x_0^2 + 2x_0 - 3 = 0$Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -2, произведение равно -3. Корни: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -3$.Это означает, что существуют две касательные, проходящие через точку A. Найдем их уравнения.

1. Для $x_0 = 1$:$y = 2(1)x - (1)^2 + 1 = 2x - 1 + 1 = 2x$

2. Для $x_0 = -3$:$y = 2(-3)x - (-3)^2 + 1 = -6x - 9 + 1 = -6x - 8$

Ответ: $y = 2x$ и $y = -6x - 8$.

б) A(0; 0)

Подставим координаты точки $A(x=0, y=0)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$0 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1$$0 = -x_0^2 + 1$$x_0^2 = 1$Отсюда получаем два значения для $x_0$: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$.Найдем уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 1$:$y = 2(1)x - (1)^2 + 1 = 2x$

2. Для $x_0 = -1$:$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 1 = -2x - 1 + 1 = -2x$

Ответ: $y = 2x$ и $y = -2x$.

в) A(0; -3)

Подставим координаты точки $A(x=0, y=-3)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$-3 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1$$-3 = -x_0^2 + 1$$x_0^2 = 4$Отсюда получаем два значения для $x_0$: $x_{0_1} = 2$ и $x_{0_2} = -2$.Найдем уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 2$:$y = 2(2)x - (2)^2 + 1 = 4x - 4 + 1 = 4x - 3$

2. Для $x_0 = -2$:$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 4x - 3$ и $y = -4x - 3$.

г) A(-1; 1)

Подставим координаты точки $A(x=-1, y=1)$ в уравнение касательной $y = 2x_0x - x_0^2 + 1$:$1 = 2x_0(-1) - x_0^2 + 1$$1 = -2x_0 - x_0^2 + 1$$x_0^2 + 2x_0 = 0$Вынесем $x_0$ за скобки:$x_0(x_0 + 2) = 0$Отсюда получаем два значения для $x_0$: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -2$.Найдем уравнения двух касательных.

1. Для $x_0 = 0$:$y = 2(0)x - (0)^2 + 1 = 1$

2. Для $x_0 = -2$:$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 1$ и $y = -4x - 3$.