Номер 43.49, страница 259, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.49. а) Найдите все значения $x$, при каждом из которых касательная к графику функции $y = \cos 7x + 7 \cos x$ в точках с абсциссой $x$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $\frac{\pi}{6}$.

б) Найдите все значения $a$, при каждом из которых касательные к графикам функций $y = 2 - 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ в точках с абсциссой $x = a$ параллельны.

а)

Условие параллельности касательных в точках с абсциссами $x$ и $x_0$ — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x$ равен значению производной $y'(x)$ в этой точке. Таким образом, нам нужно найти все $x$, для которых выполняется равенство $y'(x) = y'(\frac{\pi}{6})$.

Заданная функция: $y(x) = \cos(7x) + 7\cos(x)$.

Найдем её производную, используя правило дифференцирования сложной функции и суммы функций: $y'(x) = (\cos(7x))' + (7\cos(x))' = -\sin(7x) \cdot (7x)' - 7\sin(x) = -7\sin(7x) - 7\sin(x)$.

Теперь найдем значение производной в точке с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7\sin(7 \cdot \frac{\pi}{6}) - 7\sin(\frac{\pi}{6})$.

Вычислим значения синусов: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Подставим эти значения в выражение для производной: $y'(\frac{\pi}{6}) = -7(-\frac{1}{2}) - 7(\frac{1}{2}) = \frac{7}{2} - \frac{7}{2} = 0$.

Теперь нам нужно решить уравнение $y'(x) = 0$: $-7\sin(7x) - 7\sin(x) = 0$ $\sin(7x) + \sin(x) = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\sin\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 0$ $2\sin(4x)\cos(3x) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум совокупным уравнениям:

1) $\sin(4x) = 0$ $4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(3x) = 0$ $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем все искомые значения $x$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Условие параллельности касательных к графикам функций $y_1(x) = 2 - 14\sin(3x)$ и $y_2(x) = 6\sin(7x)$ в точке с абсциссой $x=a$ заключается в равенстве значений их производных в этой точке: $y_1'(a) = y_2'(a)$.

Найдем производные заданных функций:

$y_1'(x) = (2 - 14\sin(3x))' = 0 - 14\cos(3x) \cdot (3x)' = -42\cos(3x)$.

$y_2'(x) = (6\sin(7x))' = 6\cos(7x) \cdot (7x)' = 42\cos(7x)$.

Теперь приравняем значения производных в точке $x=a$ и решим полученное уравнение относительно $a$: $y_1'(a) = y_2'(a)$ $-42\cos(3a) = 42\cos(7a)$ $\cos(7a) + \cos(3a) = 0$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. $2\cos\frac{7a+3a}{2}\cos\frac{7a-3a}{2} = 0$ $2\cos(5a)\cos(2a) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум совокупным уравнениям:

1) $\cos(5a) = 0$ $5a = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $a = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} = \frac{\pi(1+2k)}{10}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2a) = 0$ $2a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $a = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi(1+2n)}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем все искомые значения $a$.

Ответ: $a = \frac{\pi(2k+1)}{10}$; $a = \frac{\pi(2n+1)}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.