Номер 43.55, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.55. a) При каких значениях параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 - px$ в точке $x = 1$ проходит через точку $(2; 3)?

б) При каких значениях параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x = 1$ проходит через точку $(3; 2)?

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $y = f(x) = x^3 - px$ и точки касания $x_0 = 1$ найдем все компоненты уравнения.

1. Значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 - p \cdot 1 = 1 - p$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (x^3 - px)' = 3x^2 - p$.

3. Значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - p = 3 - p$.

Теперь подставим найденные значения в общее уравнение касательной:

$y = (1 - p) + (3 - p)(x - 1)$.

По условию задачи, эта касательная проходит через точку $(2; 3)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной. Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в полученное уравнение:

$3 = (1 - p) + (3 - p)(2 - 1)$

Решим это уравнение относительно параметра $p$:

$3 = 1 - p + (3 - p) \cdot 1$

$3 = 1 - p + 3 - p$

$3 = 4 - 2p$

$2p = 4 - 3$

$2p = 1$

$p = \frac{1}{2}$.

Ответ: $p = \frac{1}{2}$.

б) Решим задачу аналогично предыдущему пункту. Дана функция $y = f(x) = x^3 + px^2$, точка касания $x_0 = 1$, и точка, через которую проходит касательная, $(3; 2)$.

1. Значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (x^3 + px^2)' = 3x^2 + 2px$.

3. Значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$.

Запишем уравнение касательной:

$y = (1 + p) + (3 + 2p)(x - 1)$.

Касательная проходит через точку $(3; 2)$. Подставим $x = 3$ и $y = 2$ в уравнение:

$2 = (1 + p) + (3 + 2p)(3 - 1)$

Решим полученное уравнение:

$2 = 1 + p + (3 + 2p) \cdot 2$

$2 = 1 + p + 6 + 4p$

$2 = 7 + 5p$

$5p = 2 - 7$

$5p = -5$

$p = -1$.

Ответ: $p = -1$.