Номер 43.60, страница 261, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.60. a) Найдите наименьшее положительное значение x, при котором касательные к графикам функций $y = 3 \cos \frac{5x}{2}$ и $y = 5 \cos \frac{3x}{2} + 2$ параллельны.

б) Найдите наибольшее отрицательное значение x, при котором касательные к графикам функций $y = 2 - 14 \sin 3x$ и $y = 6 \sin 7x$ параллельны.

а)

Касательные к графикам двух функций параллельны в некоторой точке $x$, если значения их производных в этой точке равны.

Найдем производные для заданных функций $y_1 = 3 \cos\frac{5x}{2}$ и $y_2 = 5 \cos\frac{3x}{2} + 2$.

$y_1' = \left(3 \cos\frac{5x}{2}\right)' = 3 \cdot \left(-\sin\frac{5x}{2}\right) \cdot \left(\frac{5x}{2}\right)' = -3 \sin\frac{5x}{2} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{15}{2} \sin\frac{5x}{2}$.

$y_2' = \left(5 \cos\frac{3x}{2} + 2\right)' = 5 \cdot \left(-\sin\frac{3x}{2}\right) \cdot \left(\frac{3x}{2}\right)' + 0 = -\frac{15}{2} \sin\frac{3x}{2}$.

Приравняем производные, чтобы найти значения $x$, при которых касательные параллельны:

$y_1' = y_2' \implies -\frac{15}{2} \sin\frac{5x}{2} = -\frac{15}{2} \sin\frac{3x}{2}$

$\sin\frac{5x}{2} = \sin\frac{3x}{2}$

Это тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1) $\frac{5x}{2} = \frac{3x}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$\frac{5x}{2} - \frac{3x}{2} = 2\pi k$
$\frac{2x}{2} = 2\pi k$
$x = 2\pi k$

2) $\frac{5x}{2} = \pi - \frac{3x}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2} = \pi + 2\pi n$
$4x = \pi(1 + 2n)$
$x = \frac{\pi(1 + 2n)}{4}$

Теперь нам нужно найти наименьшее положительное значение $x$ из этих двух серий решений.

Из первой серии ($x = 2\pi k$): при $k=1$ получаем наименьшее положительное решение $x = 2\pi$.

Из второй серии ($x = \frac{\pi(1 + 2n)}{4}$): при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi(1 + 0)}{4} = \frac{\pi}{4}$. Это наименьшее положительное решение в этой серии.

Сравнивая два найденных наименьших положительных решения, $2\pi$ и $\frac{\pi}{4}$, выбираем меньшее из них: $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б)

Условие параллельности касательных — равенство производных. Найдем производные для функций $y_1 = 2 - 14 \sin 3x$ и $y_2 = 6 \sin 7x$.

$y_1' = (2 - 14 \sin 3x)' = -14 (\cos 3x) \cdot 3 = -42 \cos 3x$.

$y_2' = (6 \sin 7x)' = 6 (\cos 7x) \cdot 7 = 42 \cos 7x$.

Приравняем производные:

$-42 \cos 3x = 42 \cos 7x$

$\cos 7x = -\cos 3x$

$\cos 7x + \cos 3x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{7x+3x}{2}\cos\frac{7x-3x}{2} = 0$

$2\cos(5x)\cos(2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos(5x) = 0$
$5x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5} = \frac{\pi(1+2k)}{10}$

2) $\cos(2x) = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi(1+2n)}{4}$

Теперь необходимо найти наибольшее отрицательное значение $x$.

Из первой серии ($x = \frac{\pi(1+2k)}{10}$): чтобы $x$ был отрицательным, $1+2k$ должно быть отрицательным. Наибольшее целое $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=-1$. При $k=-1$, $x = \frac{\pi(1-2)}{10} = -\frac{\pi}{10}$.

Из второй серии ($x = \frac{\pi(1+2n)}{4}$): чтобы $x$ был отрицательным, $1+2n$ должно быть отрицательным. Наибольшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n=-1$. При $n=-1$, $x = \frac{\pi(1-2)}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Сравниваем два найденных наибольших отрицательных решения: $-\frac{\pi}{10}$ и $-\frac{\pi}{4}$. Поскольку $-\frac{1}{10} > -\frac{1}{4}$ (или $-0.1 > -0.25$), то наибольшим отрицательным значением является $-\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{10}$