Номер 43.54, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.54. a) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 - |2x - 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$, $x = -5$.

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x - 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$, $x = -2$.

а)

Дана функция $y = x^2 - |2x - 6|$. Требуется найти точку пересечения касательных к графику этой функции, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$ и $x = -5$.

Сначала раскроем модуль в выражении для функции. Модуль $|2x - 6|$ обращается в ноль при $2x - 6 = 0$, то есть при $x = 3$.

• При $x \ge 3$, $|2x - 6| = 2x - 6$, и функция принимает вид: $y = x^2 - (2x - 6) = x^2 - 2x + 6$.
• При $x < 3$, $|2x - 6| = -(2x - 6) = 6 - 2x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - (6 - 2x) = x^2 + 2x - 6$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 6, & \text{если } x \ge 3 \\ x^2 + 2x - 6, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Найдем производную функции для каждой из ветвей: $y'(x) = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x > 3 \\ 2x + 2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

1. Касательная в точке с абсциссой $x_1 = 5$.
Поскольку $5 > 3$, мы используем первую формулу для функции и её производной.
Найдем ординату точки касания: $y_1 = y(5) = 5^2 - 2(5) + 6 = 25 - 10 + 6 = 21$.
Точка касания $M_1(5; 21)$.
Найдем угловой коэффициент (значение производной в точке касания): $k_1 = y'(5) = 2(5) - 2 = 8$.
Уравнение касательной имеет вид $y - y_1 = k_1(x - x_1)$: $y - 21 = 8(x - 5)$
$y - 21 = 8x - 40$
$y = 8x - 19$

2. Касательная в точке с абсциссой $x_2 = -5$.
Поскольку $-5 < 3$, мы используем вторую формулу для функции и её производной.
Найдем ординату точки касания: $y_2 = y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 6 = 25 - 10 - 6 = 9$.
Точка касания $M_2(-5; 9)$.
Найдем угловой коэффициент: $k_2 = y'(-5) = 2(-5) + 2 = -10 + 2 = -8$.
Уравнение касательной: $y - 9 = -8(x - (-5))$
$y - 9 = -8(x + 5)$
$y - 9 = -8x - 40$
$y = -8x - 31$

3. Точка пересечения касательных.
Чтобы найти точку пересечения, решим систему из уравнений двух касательных: $\begin{cases} y = 8x - 19 \\ y = -8x - 31 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений: $8x - 19 = -8x - 31$
$16x = -12$
$x = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из уравнений касательной. Например, в первое: $y = 8(-\frac{3}{4}) - 19 = -6 - 19 = -25$.
Таким образом, точка пересечения касательных имеет координаты $(-\frac{3}{4}; -25)$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; -25)$.

б)

Дана функция $y = x^3 + |x - 1|$. Требуется найти точку пересечения касательных к графику этой функции, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$ и $x = -2$.

Раскроем модуль. Выражение $x - 1$ равно нулю при $x = 1$.

• При $x \ge 1$, $|x - 1| = x - 1$, и функция принимает вид: $y = x^3 + x - 1$.
• При $x < 1$, $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и функция принимает вид: $y = x^3 - x + 1$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y(x) = \begin{cases} x^3 + x - 1, & \text{если } x \ge 1 \\ x^3 - x + 1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Найдем производную функции: $y'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & \text{если } x > 1 \\ 3x^2 - 1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

1. Касательная в точке с абсциссой $x_1 = 2$.
Так как $2 > 1$, используем первую ветвь функции.
Ордината точки касания: $y_1 = y(2) = 2^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9$. Точка касания $M_1(2; 9)$.
Угловой коэффициент: $k_1 = y'(2) = 3(2^2) + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.
Уравнение касательной: $y - 9 = 13(x - 2)$
$y - 9 = 13x - 26$
$y = 13x - 17$

2. Касательная в точке с абсциссой $x_2 = -2$.
Так как $-2 < 1$, используем вторую ветвь функции.
Ордината точки касания: $y_2 = y(-2) = (-2)^3 - (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$. Точка касания $M_2(-2; -5)$.
Угловой коэффициент: $k_2 = y'(-2) = 3(-2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 11$.
Уравнение касательной: $y - (-5) = 11(x - (-2))$
$y + 5 = 11(x + 2)$
$y + 5 = 11x + 22$
$y = 11x + 17$

3. Точка пересечения касательных.
Решим систему из уравнений двух касательных: $\begin{cases} y = 13x - 17 \\ y = 11x + 17 \end{cases}$
Приравняем правые части: $13x - 17 = 11x + 17$
$2x = 34$
$x = 17$
Найдем $y$, подставив $x = 17$ во второе уравнение: $y = 11(17) + 17 = 187 + 17 = 204$.
Точка пересечения касательных имеет координаты $(17; 204)$.

Ответ: $(17; 204)$.