Номер 43.57, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.57. Найдите все такие значения параметра $a$, при которых касательные, проведённые к графикам функций $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$ и $y = g(x)$ в точке $(a; g(a))$, параллельны:

a) $f(x) = x^6$; $g(x) = x^7$;

б) $f(x) = x^4$; $g(x) = x^5$.

Условие параллельности двух прямых — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $h'(x_0)$.

В задаче требуется найти значения параметра $a$, при которых касательные к графикам функций $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$ и $y = g(x)$ в точке $(a; g(a))$ параллельны. Это означает, что их угловые коэффициенты в точке $x=a$ должны быть равны.

Следовательно, нам нужно решить уравнение:$f'(a) = g'(a)$

а) $f(x) = x^6; g(x) = x^7$

Сначала найдем производные заданных функций:$f'(x) = (x^6)' = 6x^5$$g'(x) = (x^7)' = 7x^6$

Теперь приравняем значения этих производных в точке $x=a$:$f'(a) = g'(a)$$6a^5 = 7a^6$

Решим полученное уравнение относительно $a$:$7a^6 - 6a^5 = 0$Вынесем общий множитель $a^5$ за скобки:$a^5(7a - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:1. $a^5 = 0 \implies a = 0$2. $7a - 6 = 0 \implies 7a = 6 \implies a = \frac{6}{7}$

Ответ: $a = 0$, $a = \frac{6}{7}$.

б) $f(x) = x^4; g(x) = x^5$

Сначала найдем производные заданных функций:$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$$g'(x) = (x^5)' = 5x^4$

Теперь приравняем значения этих производных в точке $x=a$:$f'(a) = g'(a)$$4a^3 = 5a^4$

Решим полученное уравнение относительно $a$:$5a^4 - 4a^3 = 0$Вынесем общий множитель $a^3$ за скобки:$a^3(5a - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:1. $a^3 = 0 \implies a = 0$2. $5a - 4 = 0 \implies 5a = 4 \implies a = \frac{4}{5}$

Ответ: $a = 0$, $a = \frac{4}{5}$.