Номер 43.53, страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.53. a) На оси y взята точка B, из неё проведены касательные к графику функции $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $60^\circ$. Найдите координаты точки B.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси y.

а)

Пусть координаты точки $B$, лежащей на оси $y$, равны $(0, y_B)$.

Функция, задающая параболу: $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это парабола, симметричная относительно оси $y$, с вершиной в точке $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем производную функции: $f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x = \sqrt{3}x$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Подставляя наши выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$, получаем:

$y = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3}x_0(x - x_0) = \sqrt{3}x_0 x - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку касательная проходит через точку $B(0, y_B)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=0$ и $y=y_B$:

$y_B = \sqrt{3}x_0(0) - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \implies y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из-за симметрии параболы относительно оси $y$, касательные, проведенные из точки на оси $y$, будут симметричны. Если абсцисса одной точки касания $x_1$, то второй будет $x_2 = -x_1$. Угловые коэффициенты этих касательных, $k_1 = f'(x_1)$ и $k_2 = f'(x_2)$, будут равны $k_1 = \sqrt{3}x_1$ и $k_2 = -\sqrt{3}x_1$, то есть $k_2 = -k_1$.

Угол $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется по формуле: $\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

По условию, угол между касательными равен $60^\circ$, следовательно $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Подставляем $k_2 = -k_1$:

$\sqrt{3} = \left| \frac{-k_1 - k_1}{1 + k_1(-k_1)} \right| = \left| \frac{-2k_1}{1 - k_1^2} \right|$.

Мы можем выразить $k_1^2$ через $y_B$. Из соотношения $y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_1^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ получаем $x_1^2 = 1 - \frac{2y_B}{\sqrt{3}}$.

Тогда $k_1^2 = (\sqrt{3}x_1)^2 = 3x_1^2 = 3\left(1 - \frac{2y_B}{\sqrt{3}}\right) = 3 - 2\sqrt{3}y_B$.

Подставим $k_1^2$ в уравнение для тангенса угла. Пусть $k_1>0$ (это не влияет на результат, так как $k_1^2$ не зависит от знака $k_1$).

$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{k_1^2}}{|1 - k_1^2|} = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{3}y_B}}{|1 - (3 - 2\sqrt{3}y_B)|} = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{3}y_B}}{|-2 + 2\sqrt{3}y_B|} = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{3}y_B}}{|\sqrt{3}y_B - 1|}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3 = \frac{3 - 2\sqrt{3}y_B}{(\sqrt{3}y_B - 1)^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3}y_B}{3y_B^2 - 2\sqrt{3}y_B + 1}$.

$3(3y_B^2 - 2\sqrt{3}y_B + 1) = 3 - 2\sqrt{3}y_B$.

$9y_B^2 - 6\sqrt{3}y_B + 3 = 3 - 2\sqrt{3}y_B$.

$9y_B^2 - 4\sqrt{3}y_B = 0$.

$y_B(9y_B - 4\sqrt{3}) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $y_B$:

$y_B = 0$ или $9y_B - 4\sqrt{3} = 0 \implies y_B = \frac{4\sqrt{3}}{9}$.

Оба значения $y_B$ меньше, чем ордината вершины параболы $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ (так как $0 < 0.866$ и $\frac{4\sqrt{3}}{9} \approx \frac{4 \cdot 1.732}{9} \approx 0.77 < 0.866$), поэтому оба решения являются допустимыми.

Таким образом, существует две точки B на оси $y$, удовлетворяющие условию.

Ответ: Координаты точки B: $(0, 0)$ или $\left(0, \frac{4\sqrt{3}}{9}\right)$.

б)

Функция, задающая параболу: $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2) = -\frac{\sqrt{3}}{6}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{6}$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, симметричная относительно оси $y$. Вершина находится в точке $(0, \frac{\sqrt{3}}{6})$.

Найдем производную: $y' = -\frac{\sqrt{3}}{6}(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Касательные пересекаются в точке на оси $y$. Из-за симметрии параболы, их угловые коэффициенты будут противоположны по знаку: $k_1 = k$ и $k_2 = -k$.

Угол между касательными составляет $120^\circ$. Смежный (острый) угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Формула для угла между прямыми обычно использует острый угол:

$\tan 60^\circ = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

$\sqrt{3} = \left| \frac{-k - k}{1 + k(-k)} \right| = \left| \frac{-2k}{1 - k^2} \right|$.

Это уравнение, как и в пункте а), имеет два положительных решения для $k$: $k = \sqrt{3}$ и $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим, какой из этих случаев соответствует углу $120^\circ$.

1. Если slopes are $k_1=\sqrt{3}$ и $k_2=-\sqrt{3}$, то углы наклона касательных к оси $Ox$ равны $\arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$ и $\arctan(-\sqrt{3}) = 120^\circ$. Угол между ними равен $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

2. Если slopes are $k_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $k_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, то углы наклона равны $\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^\circ$ и $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 150^\circ$. Угол между ними равен $150^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Нам нужен второй случай, поэтому угловые коэффициенты касательных равны $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем абсциссы точек касания. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $y'(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0$.

Для касательной с угловым коэффициентом $\frac{1}{\sqrt{3}}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}x_0 \implies x_0 = -1$.

Для касательной с угловым коэффициентом $-\frac{1}{\sqrt{3}}$: $-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 \implies x_0 = 1$.

Найдем ординаты точек касания: $y(1) = y(-1) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - 1^2) = 0$.

Точки касания: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Теперь составим уравнения касательных.

Касательная в точке $(1, 0)$ с угловым коэффициентом $-\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1) \implies y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Касательная в точке $(-1, 0)$ с угловым коэффициентом $\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1)) \implies y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Обе касательные пересекают ось $y$ в точке $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: Уравнения касательных: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.