Номер 43.67, страница 262, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.67. a) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 - 5}$ в точке $x = 3$.

б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $y = \sqrt{x^2 - 9}$ в точке $x = 5$.

а)

Треугольник образован тремя прямыми: биссектрисами координатных углов, которые задаются уравнениями $y=x$ и $y=-x$, и касательной к графику функции $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

1. Найдем уравнение касательной.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала определим координаты точки касания. Абсцисса $x_0 = 3$.
Ордината $y_0 = f(3) = \sqrt{3^2 - 5} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2$.
Точка касания: $(3, 2)$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 5}$:
$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 5})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5}} \cdot (x^2 - 5)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 5}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = f'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y - y_0 = k(x - x_0) \Rightarrow y - 2 = \frac{3}{2}(x - 3)$
$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.

2. Найдем вершины треугольника.
Вершины треугольника являются точками пересечения трех прямых: $y=x$, $y=-x$ и $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$.
- Вершина A: Пересечение биссектрис $y=x$ и $y=-x$.
$x = -x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0, y=0$. Таким образом, вершина A(0, 0).
- Вершина B: Пересечение касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$ и биссектрисы $y=x$.
$x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{3}{2}x - x \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{1}{2}x \Rightarrow x=5$. Так как $y=x$, то $y=5$. Таким образом, вершина B(5, 5).
- Вершина C: Пересечение касательной $y = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$ и биссектрисы $y=-x$.
$-x = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{3}{2}x + x \Rightarrow \frac{5}{2} = \frac{5}{2}x \Rightarrow x=1$. Так как $y=-x$, то $y=-1$. Таким образом, вершина C(1, -1).

3. Найдем площадь треугольника.
Площадь треугольника с вершинами в точках A($x_A, y_A$), B($x_B, y_B$), C($x_C, y_C$), где A - начало координат, вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B|$.
Подставляем координаты вершин B(5, 5) и C(1, -1):
$S = \frac{1}{2} |5 \cdot (-1) - 1 \cdot 5| = \frac{1}{2} |-5 - 5| = \frac{1}{2} |-10| = 5$.
Ответ: 5.

б)

Аналогично, треугольник образован прямыми $y=x$, $y=-x$ и касательной к графику функции $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ в точке с абсциссой $x_0 = 5$.

1. Найдем уравнение касательной.
Найдем координаты точки касания: $x_0 = 5$.
$y_0 = f(5) = \sqrt{5^2 - 9} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Точка касания: $(5, 4)$.
Найдем производную: $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}}$.
Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 5$:
$k = f'(5) = \frac{5}{\sqrt{5^2 - 9}} = \frac{5}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$.
Уравнение касательной:
$y - 4 = \frac{5}{4}(x - 5)$
$y = 4 + \frac{5}{4}x - \frac{25}{4} \Rightarrow y = \frac{16-25}{4} + \frac{5}{4}x \Rightarrow y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}$.

2. Найдем вершины треугольника.
- Вершина A: Пересечение $y=x$ и $y=-x$ дает точку A(0, 0).
- Вершина B: Пересечение касательной $y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}$ и $y=x$.
$x = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{4}x \Rightarrow x=9$. Так как $y=x$, то $y=9$. Вершина B(9, 9).
- Вершина C: Пересечение касательной $y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}$ и $y=-x$.
$-x = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{9}{4}x \Rightarrow x=1$. Так как $y=-x$, то $y=-1$. Вершина C(1, -1).

3. Найдем площадь треугольника.
Используем ту же формулу для площади с вершинами A(0, 0), B(9, 9) и C(1, -1):
$S = \frac{1}{2} |x_B y_C - x_C y_B| = \frac{1}{2} |9 \cdot (-1) - 1 \cdot 9| = \frac{1}{2} |-9 - 9| = \frac{1}{2} |-18| = 9$.
Ответ: 9.