Номер 43.65, страница 261, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.65. a) Из какой точки оси y кривая $y = \sqrt{1 + x^2}$ видна под углом $120^\circ$?

б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом.

а)

Пусть искомая точка на оси $y$ имеет координаты $P(0, y_0)$. Кривая задана уравнением $y = \sqrt{1 + x^2}$. Эта кривая является верхней ветвью гиперболы $y^2 - x^2 = 1$ и симметрична относительно оси $y$.

Если из точки $P$ на оси симметрии кривой можно провести две касательные, то точки касания $T_1$ и $T_2$ также будут симметричны относительно оси $y$. Угол между касательными равен $120^\circ$. В силу симметрии, ось $y$ является биссектрисой этого угла. Следовательно, каждая касательная образует с осью $y$ угол, равный $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Рассмотрим касательную, проведенную в точку $T(x_t, y_t)$ с $x_t > 0$. Угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси $y$, равен $60^\circ$. Пусть $\beta$ — угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси $x$. Тогда $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) этой касательной равен $k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_t$ равен значению производной $f'(x_t)$. Найдем производную функции $y = \sqrt{1 + x^2}$: $y' = \left(\sqrt{1 + x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

В точке касания $(x_t, y_t)$ угловой коэффициент равен $k = \frac{x_t}{\sqrt{1 + x_t^2}}$. Приравнивая два выражения для $k$, получаем: $\frac{x_t}{\sqrt{1 + x_t^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{x_t^2}{1 + x_t^2} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x_t^2 = 1 + x_t^2 \Rightarrow 2x_t^2 = 1 \Rightarrow x_t^2 = \frac{1}{2}$. Поскольку мы рассматриваем $x_t > 0$, то $x_t = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Тогда $y_t = \sqrt{1 + x_t^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Точка касания $T(\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$.

Уравнение касательной в точке $T$ имеет вид $y - y_t = k(x - x_t)$. Подставим известные значения: $y - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Эта касательная проходит через точку $P(0, y_0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $y_0 - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(0 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $y_0 - \sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ $y_0 = \sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Также можно записать $y_0 = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. Таким образом, искомая точка на оси $y$ — это $(0, \sqrt{2/3})$.

Ответ: $(0, \sqrt{2/3})$.

б)

Пусть $P(x_0, y_0)$ — точка, из которой парабола $y = x^2$ видна под прямым углом. Это означает, что две касательные, проведенные из точки $P$ к параболе, перпендикулярны.

Пусть $T(x_t, x_t^2)$ — точка касания на параболе. Производная функции $y=x^2$ равна $y' = 2x$. Угловой коэффициент касательной в точке $T$ равен $k = 2x_t$.

Уравнение касательной в точке $T(x_t, x_t^2)$ имеет вид: $y - x_t^2 = 2x_t(x - x_t)$.

Поскольку касательная проходит через точку $P(x_0, y_0)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: $y_0 - x_t^2 = 2x_t(x_0 - x_t)$ $y_0 - x_t^2 = 2x_0 x_t - 2x_t^2$ $x_t^2 - 2x_0 x_t + y_0 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно абсциссы точки касания $x_t$. Для того чтобы из точки $P$ можно было провести две различные касательные, это уравнение должно иметь два различных действительных корня, $x_1$ и $x_2$.

Угловые коэффициенты этих двух касательных равны $k_1 = 2x_1$ и $k_2 = 2x_2$.

Условие перпендикулярности двух прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$ $(2x_1)(2x_2) = -1$ $4x_1 x_2 = -1$.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения $x_t^2 - 2x_0 x_t + y_0 = 0$, произведение корней $x_1 x_2$ равно свободному члену, то есть $x_1 x_2 = y_0$.

Подставляя это в условие перпендикулярности, получаем: $4y_0 = -1 \Rightarrow y_0 = -1/4$.

Это означает, что любая точка, из которой парабола видна под прямым углом, должна лежать на прямой $y = -1/4$.

Проверим, выполняется ли для точек этой прямой условие существования двух различных касательных. Дискриминант квадратного уравнения должен быть положителен: $D = (-2x_0)^2 - 4(1)(y_0) = 4x_0^2 - 4y_0 > 0$ $x_0^2 - y_0 > 0$.

Подставим $y_0 = -1/4$: $x_0^2 - (-1/4) > 0 \Rightarrow x_0^2 + 1/4 > 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного значения $x_0$, так как $x_0^2 \ge 0$.

Следовательно, искомое множество точек — это все точки прямой $y = -1/4$. Эта прямая является директрисой параболы $y=x^2$.

Ответ: множество точек, из которых парабола $y = x^2$ видна под прямым углом, является прямой $y = -1/4$.