Страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

44.48. а) $y = 2x^2 - 7x + 1$;

б) $y = 3 - 5x - x^2$;

В) $y = 4x^2 - 6x - 7$;

Г) $y = -3x^2 - 12x + 50.$

а) Для функции $y = 2x^2 - 7x + 1$ имеем дело с квадратичной функцией, график которой — парабола. Коэффициенты стандартного уравнения $y = ax^2 + bx + c$ в данном случае равны $a = 2$, $b = -7$, $c = 1$.
Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх, а ее вершина является точкой минимума.
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по следующим формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$
Сначала вычисляем абсциссу (координату x) вершины:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1,75$
Затем вычисляем ординату (координату y) вершины, подставив найденное значение $x_0$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = 2\left(\frac{7}{4}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{4}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{49}{16} - \frac{49}{4} + 1 = \frac{49}{8} - \frac{98}{8} + \frac{8}{8} = \frac{49 - 98 + 8}{8} = -\frac{41}{8} = -5,125$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{7}{4}, -\frac{41}{8})$.
Ответ: $(\frac{7}{4}, -\frac{41}{8})$.

б) Для функции $y = 3 - 5x - x^2$ сначала приведем ее к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -x^2 - 5x + 3$.
Коэффициенты равны $a = -1$, $b = -5$, $c = 3$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина является точкой максимума.
Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -\frac{5}{2} = -2,5$
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = -\frac{5}{2}$ в уравнение:
$y_0 = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) + 3 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 3 = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} + \frac{12}{4} = \frac{-25 + 50 + 12}{4} = \frac{37}{4} = 9,25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-\frac{5}{2}, \frac{37}{4})$.
Ответ: $(-\frac{5}{2}, \frac{37}{4})$.

в) Для функции $y = 4x^2 - 6x - 7$ коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны $a = 4$, $b = -6$, $c = -7$.
Так как коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх, а ее вершина является точкой минимума.
Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = \frac{3}{4}$ в уравнение:
$y_0 = 4\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{4}\right) - 7 = 4 \cdot \frac{9}{16} - \frac{18}{4} - 7 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{28}{4} = \frac{9 - 18 - 28}{4} = -\frac{37}{4} = -9,25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{3}{4}, -\frac{37}{4})$.
Ответ: $(\frac{3}{4}, -\frac{37}{4})$.

г) Для функции $y = -3x^2 - 12x + 50$ коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны $a = -3$, $b = -12$, $c = 50$.
Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина является точкой максимума.
Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -2$
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = -2$ в уравнение:
$y_0 = -3(-2)^2 - 12(-2) + 50 = -3 \cdot 4 + 24 + 50 = -12 + 24 + 50 = 62$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 62)$.
Ответ: $(-2, 62)$.

44.49. a) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1;$

Б) $y = x^3 - 27x + 26;$

В) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11;$

Г) $y = 2x^3 - 21x^2 + 19.$

a) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1$

1. Найдем область определения функции. Так как это многочлен, область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 2)$, возьмем $x=0$: $y'(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(2; 3)$, возьмем $x=2.5$: $y'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(3; +\infty)$, возьмем $x=4$: $y'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает.

5. В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5}{2} \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 - 1 = \frac{8}{3} - 10 + 12 - 1 = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}$.

$y_{min} = y(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5}{2} \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 - 1 = 9 - \frac{45}{2} + 18 - 1 = 26 - 22.5 = 3.5 = \frac{7}{2}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[2; 3]$. Точка максимума $x_{max} = 2$, $y(2) = \frac{11}{3}$. Точка минимума $x_{min} = 3$, $y(3) = \frac{7}{2}$.

б) $y = x^3 - 27x + 26$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 27x + 26)' = 3x^2 - 27$.

3. Найдем критические точки:

$3x^2 - 27 = 0 \implies 3x^2 = 27 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$, $(3; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -3)$, возьмем $x=-4$: $y'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 3 \cdot 16 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-3; 3)$, возьмем $x=0$: $y'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$, функция убывает.

- На интервале $(3; +\infty)$, возьмем $x=4$: $y'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + 26 = -27 + 81 + 26 = 80$.

$y_{min} = y(3) = 3^3 - 27(3) + 26 = 27 - 81 + 26 = -28$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 3]$. Точка максимума $x_{max} = -3$, $y(-3) = 80$. Точка минимума $x_{min} = 3$, $y(3) = -28$.

в) $y = x^3 - 7x^2 - 5x + 11$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 7x^2 - 5x + 11)' = 3x^2 - 14x - 5$.

3. Найдем критические точки:

$3x^2 - 14x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$.

$x_1 = \frac{14-16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{14+16}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

4. График производной — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

- На интервалах $(-\infty; -1/3)$ и $(5; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-1/3; 5)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=-1/3$ — максимум, в точке $x=5$ — минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - 7(-\frac{1}{3})^2 - 5(-\frac{1}{3}) + 11 = -\frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 11 = \frac{-1 - 21 + 45 + 297}{27} = \frac{320}{27}$.

$y_{min} = y(5) = 5^3 - 7 \cdot 5^2 - 5 \cdot 5 + 11 = 125 - 7 \cdot 25 - 25 + 11 = 125 - 175 - 25 + 11 = -64$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1/3; 5]$. Точка максимума $x_{max} = -1/3$, $y(-1/3) = \frac{320}{27}$. Точка минимума $x_{min} = 5$, $y(5) = -64$.

г) $y = 2x^3 - 21x^2 + 19$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (2x^3 - 21x^2 + 19)' = 6x^2 - 42x$.

3. Найдем критические точки:

$6x^2 - 42x = 0 \implies 6x(x-7) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 7)$, $(7; +\infty)$. График производной — парабола с ветвями вверх.

- На интервале $(-\infty; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(0; 7)$, $y' < 0$, функция убывает.

- На интервале $(7; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=0$ — максимум, в точке $x=7$ — минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

$y_{max} = y(0) = 2(0)^3 - 21(0)^2 + 19 = 19$.

$y_{min} = y(7) = 2(7)^3 - 21(7)^2 + 19 = 2 \cdot 343 - 21 \cdot 49 + 19 = 686 - 1029 + 19 = -324$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[7; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 7]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, $y(0) = 19$. Точка минимума $x_{min} = 7$, $y(7) = -324$.

44.50. a) $y = 5x^5 - 3x^3;$

Б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13;$

В) $y = x^4 - 50x^2;$

Г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3.$

а) $y = 5x^5 - 3x^3$

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции:

$y' = (5x^5 - 3x^3)' = 5 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 = 25x^4 - 9x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$25x^4 - 9x^2 = 0$

$x^2(25x^2 - 9) = 0$

$x^2(5x-3)(5x+3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 0.6$, $x_3 = -0.6$.

Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• При $x < -0.6$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $-0.6 < x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $0 < x < 0.6$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 0.6$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -0.6$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак, это не точка экстремума (точка перегиба).

В точке $x = 0.6$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-0.6) = 5(-0.6)^5 - 3(-0.6)^3 = 5(-0.07776) - 3(-0.216) = -0.3888 + 0.648 = 0.2592$.

$y_{min} = y(0.6) = 5(0.6)^5 - 3(0.6)^3 = 5(0.07776) - 3(0.216) = 0.3888 - 0.648 = -0.2592$.

Ответ: точка максимума $x = -0.6$, $y_{max} = 0.2592$; точка минимума $x = 0.6$, $y_{min} = -0.2592$.

б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13$

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13)' = 4x^3 - 12x^2 - 16x$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$, находим корни $x = 4$ и $x = -1$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < -1$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $-1 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 4$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 4$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 4$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 13 = 1 + 4 - 8 + 13 = 10$.

$y_{max} = y(0) = 0^4 - 4(0)^3 - 8(0)^2 + 13 = 13$.

$y_{min} = y(4) = 4^4 - 4(4)^3 - 8(4)^2 + 13 = 256 - 256 - 128 + 13 = -115$.

Ответ: точки минимума $x = -1$, $y_{min} = 10$ и $x = 4$, $y_{min} = -115$; точка максимума $x = 0$, $y_{max} = 13$.

в) $y = x^4 - 50x^2$

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 50x^2)' = 4x^3 - 100x$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 100x = 0$

$4x(x^2 - 25) = 0$

$4x(x - 5)(x + 5) = 0$

Критические точки: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < -5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $-5 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 5$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -5$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 5$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-5) = (-5)^4 - 50(-5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

$y_{max} = y(0) = 0^4 - 50(0)^2 = 0$.

$y_{min} = y(5) = 5^4 - 50(5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

Ответ: точки минимума $x = -5$, $y_{min} = -625$ и $x = 5$, $y_{min} = -625$; точка максимума $x = 0$, $y_{max} = 0$.

г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3$

Найдем производную функции:

$y' = (2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2$.

Приравняем производную к нулю:

$10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0$

$10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$, находим корни $x = 1$ и $x = -3$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < -3$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $-3 < x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $0 < x < 1$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак, это не точка экстремума (точка перегиба).

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-3) = 2(-3)^5 + 5(-3)^4 - 10(-3)^3 + 3 = 2(-243) + 5(81) - 10(-27) + 3 = -486 + 405 + 270 + 3 = 192$.

$y_{min} = y(1) = 2(1)^5 + 5(1)^4 - 10(1)^3 + 3 = 2 + 5 - 10 + 3 = 0$.

Ответ: точка максимума $x = -3$, $y_{max} = 192$; точка минимума $x = 1$, $y_{min} = 0$.

44.51. а) $y = x + \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x}$.

а)

Для нахождения точек экстремума функции $y = x + \frac{4}{x}$ (точек максимума и минимума) необходимо исследовать её с помощью производной.

1. Находим область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = \left(x + \frac{4}{x}\right)' = (x)' + (4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
Для этого приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
$y' = 0 \Rightarrow 1 - \frac{4}{x^2} = 0$.
$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$.
Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Обе точки входят в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах.
Критические точки $x = -2$, $x = 2$ и точка разрыва $x = 0$ делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -2)$, например при $x = -3$: $y'(-3) = 1 - \frac{4}{(-3)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).
- На интервале $(-2; 0)$, например при $x = -1$: $y'(-1) = 1 - \frac{4}{(-1)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(0; 2)$, например при $x = 1$: $y'(1) = 1 - \frac{4}{1^2} = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(2; +\infty)$, например при $x = 3$: $y'(3) = 1 - \frac{4}{3^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума.
- Значение в точке максимума: $y_{max} = y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.
- Значение в точке минимума: $y_{min} = y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -2$, локальный максимум $y(-2)=-4$; точка минимума $x_{min} = 2$, локальный минимум $y(2)=4$.

б)

Для нахождения точек экстремума функции $y = \frac{x^2 + 9}{x}$ выполним аналогичные действия.

1. Преобразуем функцию и находим область определения.
$y = \frac{x^2}{x} + \frac{9}{x} = x + \frac{9}{x}$.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.
$y' = \left(x + \frac{9}{x}\right)' = (x)' + (9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
Приравниваем производную к нулю: $y' = 0$.
$1 - \frac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$.
$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах.
Точки $x = -3$, $x = 3$ и $x = 0$ делят числовую ось на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -3)$, например при $x = -4$: $y'(-4) = 1 - \frac{9}{(-4)^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).
- На интервале $(-3; 0)$, например при $x = -1$: $y'(-1) = 1 - \frac{9}{(-1)^2} = 1 - 9 = -8 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(0; 3)$, например при $x = 1$: $y'(1) = 1 - \frac{9}{1^2} = 1 - 9 = -8 < 0$. Функция убывает ($\searrow$).
- На интервале $(3; +\infty)$, например при $x = 4$: $y'(4) = 1 - \frac{9}{4^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$. Функция возрастает ($\nearrow$).

5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума.
- Значение в точке максимума: $y_{max} = y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$.
- Значение в точке минимума: $y_{min} = y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -3$, локальный максимум $y(-3)=-6$; точка минимума $x_{min} = 3$, локальный минимум $y(3)=6$.

44.52. a) $y = x - 2\sqrt{x - 2};$

В) $y = 4\sqrt{2x - 1 - x};$

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{5 - x};$

Г) $y = \sqrt{x + 2\sqrt{7 - x}}.$

а) $y = x - 2\sqrt{x - 2}$

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [2, +\infty)$.

2. Найдём область значений функции.
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Добавим и вычтем 2, чтобы сгруппировать с $x$.
$y = x - 2\sqrt{x - 2} = (x - 2) - 2\sqrt{x - 2} + 2$
Теперь выражение $(x-2) - 2\sqrt{x-2}$ можно дополнить до полного квадрата разности. $y = (\sqrt{x - 2})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-2} \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 2 = (\sqrt{x - 2} - 1)^2 + 1$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x - 2}$. Поскольку $x \ge 2$, то $t \ge 0$. Тогда функция примет вид $y(t) = (t - 1)^2 + 1$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в точке $(1, 1)$. Нам нужно найти множество значений этой функции при $t \ge 0$.
Наименьшее значение выражения $(t - 1)^2$ при $t \ge 0$ достигается в вершине параболы при $t = 1$ (это значение входит в область $t \ge 0$) и равно $0$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = 0 + 1 = 1$.
Поскольку $t$ может неограниченно возрастать ($t \to +\infty$), значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это луч, начинающийся с наименьшего значения.

Ответ: $[1, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{5 - x}$

1. Найдём область определения функции.
Выражения под корнями должны быть неотрицательными, поэтому решаем систему неравенств: $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 5 \end{cases}$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-1, 5]$.

2. Найдём область значений функции.
Поскольку оба слагаемых в выражении для $y$ неотрицательны, то $y \ge 0$. Это позволяет нам исследовать функцию $y^2$, чтобы найти область значений $y$.
$y^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{5 - x})^2 = (x + 1) + 2\sqrt{(x + 1)(5 - x)} + (5 - x) = 6 + 2\sqrt{-x^2 + 4x + 5}$.
Теперь найдём область значений выражения $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ на отрезке $D(y) = [-1, 5]$. График $f(x)$ — парабола с ветвями вниз, поэтому её наибольшее значение достигается в вершине.
Координата вершины: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1, 5]$. Наибольшее значение $f(x)$ равно $f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке ищем на его концах.
$f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$.
$f(5) = -(5)^2 + 4(5) + 5 = -25 + 20 + 5 = 0$.
Таким образом, область значений функции $f(x)$ на отрезке $[-1, 5]$ есть $[0, 9]$.
Тогда область значений $\sqrt{f(x)}$ есть $[\sqrt{0}, \sqrt{9}] = [0, 3]$.
Следовательно, область значений для $y^2 = 6 + 2\sqrt{f(x)}$ есть $[6 + 2 \cdot 0, 6 + 2 \cdot 3] = [6, 12]$.
Так как $y \ge 0$, извлекаем квадратный корень из границ полученного отрезка, чтобы найти область значений для $y$.

Ответ: $[\sqrt{6}, 2\sqrt{3}]$.

в) $y = 4\sqrt{2x - 1} - x$

1. Найдём область определения функции.
$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 1/2$.
Область определения $D(y) = [1/2, +\infty)$.

2. Найдём область значений функции.
Применим метод замены переменной. Пусть $t = \sqrt{2x - 1}$. Так как $x \ge 1/2$, то $t \ge 0$.
Выразим $x$ через $t$: $t^2 = 2x - 1 \implies 2x = t^2 + 1 \implies x = \frac{t^2 + 1}{2}$.
Подставим в исходную функцию:
$y(t) = 4t - \frac{t^2 + 1}{2} = \frac{8t - (t^2 + 1)}{2} = -\frac{1}{2}t^2 + 4t - \frac{1}{2}$.
Мы получили квадратичную функцию от $t$ на области $t \ge 0$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Наибольшее значение достигается в вершине.
Координата вершины: $t_v = -\frac{4}{2(-1/2)} = 4$. Это значение принадлежит области $t \ge 0$.
Наибольшее значение функции:
$y_{max} = y(t=4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(16) + 16 - \frac{1}{2} = -8 + 16 - 0.5 = 7.5$.
Так как ветви параболы направлены вниз, при $t \to +\infty$ функция $y(t) \to -\infty$. Следовательно, область значений функции — это луч от $-\infty$ до наибольшего значения включительно.

Ответ: $(-\infty, 7.5]$.

г) $y = \sqrt{x} + 2\sqrt{7 - x}$

1. Найдём область определения функции.
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 7 \end{cases}$
Область определения $D(y) = [0, 7]$.

2. Найдём область значений функции.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке воспользуемся производной.
$y' = (\sqrt{x} + 2\sqrt{7 - x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{7 - x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{7 - x}}$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю (внутри интервала $(0, 7)$):
$\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{7 - x}} = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{7 - x}} \implies \sqrt{7 - x} = 2\sqrt{x}$.
Возведём обе части в квадрат: $7 - x = 4x \implies 5x = 7 \implies x = 1.4$. Эта точка принадлежит области определения $[0, 7]$.
Определим знак производной на интервалах $(0, 1.4)$ и $(1.4, 7)$.
При $x \in (0, 1.4)$, например $x=1$, $y'(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{6}} > 0$, функция возрастает.
При $x \in (1.4, 7)$, например $x=4$, $y'(4) = \frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt{3}} < 0$, функция убывает.
Следовательно, в точке $x=1.4$ функция достигает своего максимума.
$y_{max} = y(1.4) = \sqrt{1.4} + 2\sqrt{7 - 1.4} = \sqrt{1.4} + 2\sqrt{5.6} = \sqrt{\frac{7}{5}} + 2\sqrt{\frac{28}{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} + 2\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\sqrt{7} = \sqrt{35}$.
Найдём значения функции на концах отрезка $[0, 7]$:
$y(0) = \sqrt{0} + 2\sqrt{7 - 0} = 2\sqrt{7} = \sqrt{28}$.
$y(7) = \sqrt{7} + 2\sqrt{7 - 7} = \sqrt{7}$.
Сравнивая значения $y_{max}=\sqrt{35}$, $y(0)=\sqrt{28}$ и $y(7)=\sqrt{7}$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $\sqrt{7}$, а наибольшее — $\sqrt{35}$.

Ответ: $[\sqrt{7}, \sqrt{35}]$.

44.53. a) $y = x - 2 \cos x, x \in [-\pi; \pi];$

б) $y = 2 \sin x - x, x \in [\pi; 3\pi].$

а)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x - 2 \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y(x)$.

$y' = (x - 2 \cos x)' = 1 - 2(-\sin x) = 1 + 2 \sin x$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.

$1 + 2 \sin x = 0$

$2 \sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

3. Определить, какие из найденных критических точек принадлежат заданному отрезку $[-\pi; \pi]$.

Корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеют вид $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подберем значения $k$, чтобы найти корни в интервале $[-\pi; \pi]$:

• При $k=0$, $x = (-1)^{1} \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$. Эта точка принадлежит отрезку $[-\pi; \pi]$.
• При $k=-1$, $x = (-1)^{0} \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[-\pi; \pi]$.

Другие целые значения $k$ дают корни, не входящие в данный отрезок.

4. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: $x = -\pi$, $x = -\frac{5\pi}{6}$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \pi$.

• $y(-\pi) = -\pi - 2 \cos(-\pi) = -\pi - 2(-1) = 2 - \pi$.
• $y(\pi) = \pi - 2 \cos(\pi) = \pi - 2(-1) = \pi + 2$.
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2 \cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6}$.
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2 \cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$.

5. Сравнить полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее.

Для сравнения можно использовать приблизительные значения: $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $y(-\pi) = 2 - \pi \approx 2 - 3.14 = -1.14$.
• $y(\pi) = \pi + 2 \approx 3.14 + 2 = 5.14$.
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} \approx 1.73 - \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 1.73 - 2.62 = -0.89$.
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \approx -\frac{3.14}{6} - 1.73 \approx -0.52 - 1.73 = -2.25$.

Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение достигается в точке $x = \pi$ и равно $\pi + 2$, а наименьшее — в точке $x = -\frac{\pi}{6}$ и равно $-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-\pi; \pi]$ равно $-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$, наибольшее значение равно $\pi + 2$.

б)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \sin x - x$ на отрезке $[\pi; 3\pi]$, проделаем аналогичные действия.

1. Находим производную функции:

$y' = (2 \sin x - x)' = 2 \cos x - 1$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$2 \cos x - 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

3. Определяем, какие из корней принадлежат отрезку $[\pi; 3\pi]$.

Общее решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ это $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим значения для разных $k$:

• Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Так как $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $3\pi = \frac{9\pi}{3}$, то $\frac{3\pi}{3} \le \frac{7\pi}{3} \le \frac{9\pi}{3}$, значит, точка $x = \frac{7\pi}{3}$ принадлежит отрезку.
• Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[\pi; 3\pi]$.

Другие целые значения $k$ дают корни за пределами отрезка.

4. Вычисляем значения функции в критических точках $x = \frac{5\pi}{3}$, $x = \frac{7\pi}{3}$ и на концах отрезка $x=\pi$, $x=3\pi$.

• $y(\pi) = 2 \sin(\pi) - \pi = 2 \cdot 0 - \pi = -\pi$.
• $y(3\pi) = 2 \sin(3\pi) - 3\pi = 2 \cdot 0 - 3\pi = -3\pi$.
• $y(\frac{5\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$.
• $y(\frac{7\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{7\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{7\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3}$.

5. Сравним полученные значения.

Приблизительные значения: $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $y(\pi) = -\pi \approx -3.14$.
• $y(3\pi) = -3\pi \approx -9.42$.
• $y(\frac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \approx -1.73 - \frac{5 \cdot 3.14}{3} \approx -1.73 - 5.23 = -6.96$.
• $y(\frac{7\pi}{3}) = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} \approx 1.73 - \frac{7 \cdot 3.14}{3} \approx 1.73 - 7.33 = -5.6$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наибольшее значение функции равно $-\pi$, а наименьшее равно $-3\pi$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[\pi; 3\pi]$ равно $-3\pi$, наибольшее значение равно $-\pi$.

44.54. a) $y = (x^3 - 27x)^3;$

б) $y = \sqrt{x^3 - 27x};$

В) $y = (x^3 - 3x^2)^4;$

Г) $y = \sqrt{x^3 - 3x^2}.$

а) $y = (x^3 - 27x)^3$

Для нахождения производной этой функции мы применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^3$, а внутренняя функция — многочлен $u = g(x) = x^3 - 27x$.

Сначала найдем производную внешней функции по ее аргументу $u$:

$f'(u) = (u^3)' = 3u^2$

Затем найдем производную внутренней функции по $x$:

$g'(x) = (x^3 - 27x)' = (x^3)' - (27x)' = 3x^2 - 27$

Теперь, согласно цепному правилу, перемножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(x^3 - 27x)^2 \cdot (3x^2 - 27)$

Для упрощения можно вынести общий множитель 3 из второго выражения:

$y' = 3(x^3 - 27x)^2 \cdot 3(x^2 - 9) = 9(x^2 - 9)(x^3 - 27x)^2$

Ответ: $y' = 9(x^2 - 9)(x^3 - 27x)^2$

б) $y = \sqrt{x^3 - 27x}$

Эта функция также является сложной. Для удобства дифференцирования представим квадратный корень в виде степени $1/2$: $y = (x^3 - 27x)^{1/2}$.

Снова применяем цепное правило. Здесь внешняя функция $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$, а внутренняя функция $u = g(x) = x^3 - 27x$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = (x^3 - 27x)' = 3x^2 - 27$

Подставляем найденные производные в формулу цепного правила:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - 27x}} \cdot (3x^2 - 27)$

Запишем выражение в виде одной дроби:

$y' = \frac{3x^2 - 27}{2\sqrt{x^3 - 27x}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2 - 27}{2\sqrt{x^3 - 27x}}$

в) $y = (x^3 - 3x^2)^4$

Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся цепным правилом.

Внешняя функция $f(u) = u^4$, внутренняя функция $u = g(x) = x^3 - 3x^2$.

Найдем производные этих функций по отдельности:

$f'(u) = (u^4)' = 4u^3$

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = (x^3)' - (3x^2)' = 3x^2 - 6x$

Теперь применим цепное правило, подставив наши функции и их производные:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(x^3 - 3x^2)^3 \cdot (3x^2 - 6x)$

Можно упростить выражение, вынеся общий множитель $3x$ из второго сомножителя:

$y' = 4(x^3 - 3x^2)^3 \cdot 3x(x - 2) = 12x(x - 2)(x^3 - 3x^2)^3$

Ответ: $y' = 12x(x - 2)(x^3 - 3x^2)^3$

г) $y = \sqrt{x^3 - 3x^2}$

Как и в пункте б), представим корень как степень $1/2$: $y = (x^3 - 3x^2)^{1/2}$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$, внутренняя функция $u = g(x) = x^3 - 3x^2$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$

Собираем производную по цепному правилу:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}} \cdot (3x^2 - 6x)$

Объединим в одну дробь:

$y' = \frac{3x^2 - 6x}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2 - 6x}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}}$

44.55. a) $y = \arcsin x^2$;

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$;

в) $y = \arccos x^2$;

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$.

а) $y = \arcsin x^2$

Это сложная функция вида $y = f(u(x))$, где $f(u) = \arcsin u$ и $u(x) = x^2$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \arcsin u$: $f'(u) = (\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь подставляем $u(x) = x^2$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:

$y' = (\arcsin x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

б) $y = 3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$

Это сложная функция с постоянным множителем. Функция имеет вид $y = 3 \cdot f(u(x))$, где $f(u) = \operatorname{arcctg} u$ и $u(x) = \sqrt{x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = 3 \cdot f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \operatorname{arcctg} u$: $f'(u) = (\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = \sqrt{x}$: $u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем $u(x) = \sqrt{x}$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции, не забывая про константу 3:

$y' = (3 \operatorname{arcctg} \sqrt{x})' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\right) \cdot (\sqrt{x})' = -3 \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2\sqrt{x}(1+x)}$

в) $y = \arccos x^2$

Это сложная функция вида $y = f(u(x))$, где $f(u) = \arccos u$ и $u(x) = x^2$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \arccos u$: $f'(u) = (\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = x^2$: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь подставляем $u(x) = x^2$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:

$y' = (\arccos x^2)' = -\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot (x^2)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.

Ответ: $y' = -\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

г) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{2x}$

Это сложная функция вида $y = f(u(x))$, где $f(u) = \operatorname{arctg} u$ и $u(x) = \sqrt{2x}$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \operatorname{arctg} u$: $f'(u) = (\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$.

2. Производная внутренней функции $u(x) = \sqrt{2x}$: $u'(x) = (\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Подставляем $u(x) = \sqrt{2x}$ в производную внешней функции и умножаем на производную внутренней функции:

$y' = (\operatorname{arctg} \sqrt{2x})' = \frac{1}{1+(\sqrt{2x})^2} \cdot (\sqrt{2x})' = \frac{1}{1+2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{(1+2x)\sqrt{2x}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{(1+2x)\sqrt{2x}}$

44.56. Докажите, что заданная функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума:

a) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x - 12$;

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9$;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x - 7$;

г) $y = -x^3 - x^5 + 27$.

Для того чтобы доказать, что функция не имеет точек максимума и минимума (точек экстремума), нужно исследовать ее производную. Точки экстремума могут существовать только в тех точках, где производная равна нулю или не существует (критические точки). Если производная не меняет знак при переходе через критическую точку, или если критических точек нет вовсе, то функция не имеет экстремумов.

а) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x - 12$

1. Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x - 12\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 4 = x^2 + 4x + 4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Это уравнение можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$(x + 2)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $x = -2$.

3. Исследуем знак производной $y' = (x + 2)^2$ в окрестности точки $x = -2$.

Так как выражение $(x + 2)^2$ является квадратом, оно всегда неотрицательно, то есть $y' \ge 0$ при любом $x$. При $x \neq -2$ производная строго положительна ($y' > 0$), а при $x = -2$ она равна нулю. Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x = -2$ (остается неотрицательной), эта точка не является точкой экстремума. Функция является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y' = (x+2)^2 \ge 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль только в одной точке, не меняя знака, то функция не имеет точек максимума и минимума.

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9$

1. Найдем производную функции:

$y' = \left(-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9\right)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 3 = -x^2 + 3x - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-x^2 + 3x - 3 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 - 3x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение $y' = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет критических точек.

Поскольку производная $y' = -x^2 + 3x - 3$ является квадратичной функцией, ветви параболы которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), и она не пересекает ось абсцисс, то ее значения всегда отрицательны ($y' < 0$ для всех $x$). Следовательно, функция монотонно убывает на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y'$ всегда отрицательна и никогда не обращается в ноль, функция не имеет точек максимума и минимума.

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x - 7$

1. Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x - 7\right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 1 = x^4 + x^2 + 1$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^4 + x^2 + 1 = 0$

Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t + 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение $y' = 0$ не имеет действительных корней.

3. Проанализируем знак производной $y' = x^4 + x^2 + 1$.

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $x^4 + x^2 \ge 0$. Тогда $y' = x^4 + x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что производная всегда строго положительна. Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y'$ всегда положительна и никогда не обращается в ноль, функция не имеет точек максимума и минимума.

г) $y = -x^3 - x^5 + 27$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - x^5 + 27)' = -3x^2 - 5x^4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3x^2 - 5x^4 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $-x^2$:

$-x^2(3 + 5x^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$-x^2 = 0 \implies x = 0$.
$3 + 5x^2 = 0 \implies 5x^2 = -3$, это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть отрицательным.

Таким образом, существует единственная критическая точка $x = 0$.

3. Исследуем знак производной $y' = -x^2(3 + 5x^2)$ в окрестности точки $x = 0$.

Выражение $x^2 \ge 0$ для всех $x$. Выражение $3 + 5x^2$ всегда положительно (так как $5x^2 \ge 0 \implies 3+5x^2 \ge 3$).
Следовательно, $y' = -x^2(3 + 5x^2) \le 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только при $x = 0$, а при $x \neq 0$ она строго отрицательна. Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x = 0$ (остается неположительной), эта точка не является точкой экстремума. Функция является убывающей на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y' = -3x^2 - 5x^4 \le 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль только в одной точке, не меняя знака, то функция не имеет точек максимума и минимума.

44.57. Производная функции $y = ax^2 + 7x + 1$ в точке $x_0$ равна $c$.

Найдите точку экстремума функции и определите, является она точкой максимума или точкой минимума, если:

а) $x_0 = 0,5, c = 15$;

б) $x_0 = 3, c = -5$;

в) $x_0 = -1, c = 9$;

г) $x_0 = -0,5, c = 7,1$.

а) Дано: $x_0 = 0.5$, $c = 15$.

1. Общий вид функции: $y = ax^2 + 7x + 1$.
Найдем ее производную: $y'(x) = (ax^2 + 7x + 1)' = 2ax + 7$.

2. По условию, производная функции в точке $x_0$ равна $c$, то есть $y'(x_0) = c$. Подставим известные значения, чтобы найти коэффициент $a$:
$y'(0.5) = 2a \cdot 0.5 + 7 = 15$
$a + 7 = 15$
$a = 15 - 7 = 8$.

3. Функция имеет вид $y = 8x^2 + 7x + 1$. Точка экстремума — это точка, в которой производная равна нулю. Найдем эту точку:
$y'(x) = 16x + 7 = 0$
$16x = -7$
$x = -\frac{7}{16}$.

4. Для определения типа экстремума проанализируем знак коэффициента $a$. Так как $a = 8 > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, точка экстремума является точкой минимума.

Ответ: точка экстремума $x = -7/16$, это точка минимума.

б) Дано: $x_0 = 3$, $c = -5$.

1. Производная функции: $y'(x) = 2ax + 7$.

2. Найдем коэффициент $a$ из условия $y'(x_0) = c$:
$y'(3) = 2a \cdot 3 + 7 = -5$
$6a + 7 = -5$
$6a = -12$
$a = -2$.

3. Функция имеет вид $y = -2x^2 + 7x + 1$. Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:
$y'(x) = -4x + 7 = 0$
$4x = 7$
$x = \frac{7}{4}$ или $x = 1.75$.

4. Так как коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, точка экстремума является точкой максимума.

Ответ: точка экстремума $x = 7/4$, это точка максимума.

в) Дано: $x_0 = -1$, $c = 9$.

1. Производная функции: $y'(x) = 2ax + 7$.

2. Найдем коэффициент $a$ из условия $y'(x_0) = c$:
$y'(-1) = 2a \cdot (-1) + 7 = 9$
$-2a + 7 = 9$
$-2a = 2$
$a = -1$.

3. Функция имеет вид $y = -x^2 + 7x + 1$. Найдем точку экстремума:
$y'(x) = -2x + 7 = 0$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2}$ или $x = 3.5$.

4. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, точка экстремума является точкой максимума.

Ответ: точка экстремума $x = 7/2$, это точка максимума.

г) Дано: $x_0 = -0.5$, $c = 7.1$.

1. Производная функции: $y'(x) = 2ax + 7$.

2. Найдем коэффициент $a$ из условия $y'(x_0) = c$:
$y'(-0.5) = 2a \cdot (-0.5) + 7 = 7.1$
$-a + 7 = 7.1$
$-a = 0.1$
$a = -0.1$.

3. Функция имеет вид $y = -0.1x^2 + 7x + 1$. Найдем точку экстремума:
$y'(x) = -0.2x + 7 = 0$
$0.2x = 7$
$x = \frac{7}{0.2} = 35$.

4. Так как коэффициент $a = -0.1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, точка экстремума является точкой максимума.

Ответ: точка экстремума $x = 35$, это точка максимума.

44.58. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

a) $y = |x^4 + 1| + |x^4 - 1| + 2x^3$;

б) $y = |x^3 - 8| + |x^3 - 1| - x^2$.

а) $y = |x^4 + 1| + |x^4 - 1| + 2x^3$

Для нахождения точек экстремума и определения их характера, в первую очередь упростим выражение, раскрыв модули.
Выражение $x^4 + 1$ всегда положительно, так как $x^4 \ge 0$ для всех действительных $x$. Следовательно, $|x^4 + 1| = x^4 + 1$.
Выражение $x^4 - 1$ меняет знак в точках, где $x^4 - 1 = 0$, то есть при $x=1$ и $x=-1$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $|x| \ge 1$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, то $x^4 - 1 \ge 0$, и $|x^4 - 1| = x^4 - 1$.
Функция принимает вид:
$y = (x^4 + 1) + (x^4 - 1) + 2x^3 = 2x^4 + 2x^3$.
Найдем производную: $y' = (2x^4 + 2x^3)' = 8x^3 + 6x^2 = 2x^2(4x + 3)$.
Приравняем производную к нулю: $2x^2(4x + 3) = 0$. Корни: $x=0$ и $x=-3/4$. Ни один из этих корней не принадлежит рассматриваемому промежутку $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Если $|x| < 1$, то есть $x \in (-1, 1)$, то $x^4 - 1 < 0$, и $|x^4 - 1| = -(x^4 - 1) = 1 - x^4$.
Функция принимает вид:
$y = (x^4 + 1) + (1 - x^4) + 2x^3 = 2 + 2x^3$.
Найдем производную: $y' = (2 + 2x^3)' = 6x^2$.
Приравняем производную к нулю: $6x^2 = 0$, откуда $x=0$. Этот корень принадлежит интервалу $(-1, 1)$, значит $x=0$ — критическая точка.

Функция непрерывна на всей числовой оси. Точками, "подозрительными" на экстремум, являются точки, где производная равна нулю ($x=0$) или не существует. Производная не существует в точках "стыка" $x=-1$ и $x=1$, так как односторонние производные в этих точках не равны:
$y'(-1^-) = 8(-1)^3 + 6(-1)^2 = -2$
$y'(-1^+) = 6(-1)^2 = 6$
$y'(1^-) = 6(1)^2 = 6$
$y'(1^+) = 8(1)^3 + 6(1)^2 = 14$
Таким образом, критические точки функции: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

Исследуем знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения:
- При $x < -1$: $y' = 2x^2(4x + 3) < 0$, функция убывает.
- При $-1 < x < 0$: $y' = 6x^2 > 0$, функция возрастает.
- При $0 < x < 1$: $y' = 6x^2 > 0$, функция возрастает.
- При $x > 1$: $y' = 2x^2(4x + 3) > 0$, функция возрастает.

Анализируем поведение функции в критических точках:
- В точке $x=-1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x=-1$ является точкой локального минимума.
- В точке $x=0$ производная не меняет знак (она положительна слева и справа от $x=0$ в малой окрестности). Следовательно, $x=0$ не является точкой экстремума.
- В точке $x=1$ производная не меняет знак (положительна слева и справа). Следовательно, $x=1$ не является точкой экстремума.

Единственная точка экстремума — это $x=-1$, точка минимума.

Ответ: $x = -1$ — точка минимума.

б) $y = |x^3 - 8| + |x^3 - 1| - x^2$

Для исследования функции раскроем модули. Знаки выражений под модулями меняются в точках, где $x^3-8=0$ (т.е. $x=2$) и $x^3-1=0$ (т.е. $x=1$).
Разобьем числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 1)$, $[1, 2)$, $[2, \infty)$.

1. При $x < 1$:
Оба выражения $x^3 - 1$ и $x^3 - 8$ отрицательны.
$y = -(x^3 - 8) - (x^3 - 1) - x^2 = 8 - x^3 + 1 - x^3 - x^2 = -2x^3 - x^2 + 9$.
Производная: $y' = -6x^2 - 2x = -2x(3x + 1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0$ и $x=-1/3$. Обе точки принадлежат промежутку $(-\infty, 1)$.

2. При $1 \le x < 2$:
$x^3 - 1 \ge 0$, а $x^3 - 8 < 0$.
$y = -(x^3 - 8) + (x^3 - 1) - x^2 = 8 - x^3 + x^3 - 1 - x^2 = 7 - x^2$.
Производная: $y' = -2x$.
$y'=0$ при $x=0$, но эта точка не принадлежит промежутку $[1, 2)$.

3. При $x \ge 2$:
Оба выражения $x^3 - 1$ и $x^3 - 8$ неотрицательны.
$y = (x^3 - 8) + (x^3 - 1) - x^2 = 2x^3 - x^2 - 9$.
Производная: $y' = 6x^2 - 2x = 2x(3x - 1)$.
$y'=0$ при $x=0$ или $x=1/3$. Ни одна из этих точек не принадлежит промежутку $[2, \infty)$.

Функция непрерывна, но производная может не существовать в точках $x=1$ и $x=2$. Проверим односторонние производные:
$y'_{-}(1) = -6(1)^2 - 2(1) = -8$
$y'_{+}(1) = -2(1) = -2$
$y'_{-}(2) = -2(2) = -4$
$y'_{+}(2) = 6(2)^2 - 2(2) = 24 - 4 = 20$
Производные в точках $x=1$ и $x=2$ не существуют, значит это критические точки.

Итак, все критические точки: $x=-1/3$, $x=0$, $x=1$, $x=2$.
Исследуем знаки производной на интервалах:

- $x \in (-\infty, -1/3)$: $y' = -2x(3x+1) < 0$, функция убывает.
- $x \in (-1/3, 0)$: $y' = -2x(3x+1) > 0$, функция возрастает.
- $x \in (0, 1)$: $y' = -2x(3x+1) < 0$, функция убывает.
- $x \in (1, 2)$: $y' = -2x < 0$, функция убывает.
- $x \in (2, \infty)$: $y' = 2x(3x-1) > 0$, функция возрастает.

Определим характер экстремумов:
- В точке $x=-1/3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.
- В точке $x=1$ производная не меняет знак (слева «–», справа «–»), экстремума нет.
- В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

Ответ: $x = -1/3$ — точка минимума, $x = 0$ — точка максимума, $x = 2$ — точка минимума.