Страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Изобразите на координатной плоскости множество всех чисел $z \in C$, у которых $\operatorname{Re} z = 0, \operatorname{Im} z \le 0$.

1.

Каждое комплексное число $z \in \mathbb{C}$ можно представить в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Величина $x$ называется действительной (или вещественной) частью числа $z$ и обозначается как $\text{Re } z$, а величина $y$ — мнимой частью, $\text{Im } z$.

На координатной плоскости, называемой в этом контексте комплексной плоскостью, комплексному числу $z = x + iy$ сопоставляется точка с координатами $(x, y)$. Горизонтальная ось является действительной осью (ось $\text{Re}$), а вертикальная — мнимой осью (ось $\text{Im}$).

В задаче даны два условия для чисел $z$:

1. $\text{Re } z = 0$
2. $\text{Im } z \le 0$

Рассмотрим эти условия по отдельности:

Условие $\text{Re } z = 0$ означает, что действительная часть числа равна нулю, то есть $x = 0$. На комплексной плоскости этому уравнению удовлетворяют все точки, лежащие на мнимой оси (оси ординат).

Условие $\text{Im } z \le 0$ означает, что мнимая часть числа меньше либо равна нулю, то есть $y \le 0$. Этому неравенству удовлетворяют все точки, которые лежат на действительной оси или ниже неё (нижняя полуплоскость, включая границу).

Искомое множество является пересечением множеств точек, удовлетворяющих обоим условиям. Это точки, для которых одновременно выполняются равенство $x=0$ и неравенство $y \le 0$. Геометрически это пересечение мнимой оси и нижней полуплоскости.

Таким образом, искомое множество — это та часть мнимой оси, которая находится в нижней полуплоскости, включая начало координат (точка $(0,0)$). Это луч, начинающийся в начале координат и идущий вниз вдоль мнимой оси.

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой луч, который исходит из начала координат и направлен вдоль отрицательной полуоси $\text{Im}$.

2. Изобразите на координатной плоскости множество всех чисел $z \in \mathbb{C}$, у которых $\text{Re } z \ge 0$, $\text{Im } z = -1$.

Каждое комплексное число $z \in \mathbb{C}$ можно представить в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = \text{Re } z$ — его действительная (вещественная) часть, а $y = \text{Im } z$ — его мнимая часть. На координатной плоскости, которую в данном контексте называют комплексной плоскостью, действительная часть $x$ соответствует координате по оси абсцисс (горизонтальная ось, или ось $\text{Re}$), а мнимая часть $y$ — координате по оси ординат (вертикальная ось, или ось $\text{Im}$).

Задача состоит в том, чтобы найти и изобразить множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих двум условиям:
1. $\text{Re } z \ge 0$
2. $\text{Im } z = -1$

Рассмотрим каждое условие в координатах $(x, y)$:

Первое условие $\text{Re } z \ge 0$ означает, что $x \ge 0$. Геометрически это множество всех точек, которые лежат на мнимой оси ($x=0$) или правее нее. Это правая полуплоскость, включая ее границу — ось $\text{Im}$.

Второе условие $\text{Im } z = -1$ означает, что $y = -1$. Геометрически это горизонтальная прямая, параллельная действительной оси и проходящая через точку $(0, -1)$ на мнимой оси.

Чтобы найти искомое множество, мы должны найти пересечение множеств, заданных этими двумя условиями. То есть, мы ищем точки на прямой $y = -1$, для которых выполняется условие $x \ge 0$.

Это множество представляет собой луч, который начинается в точке, где $x=0$ и $y=-1$ (точка $(0, -1)$), и простирается вправо вдоль прямой $y=-1$ до бесконечности. Поскольку неравенство $x \ge 0$ нестрогое, начальная точка луча, $(0, -1)$, которая соответствует комплексному числу $z = 0 - 1i = -i$, включается в это множество.

Для изображения на координатной плоскости следует:
1. Начертить оси координат: действительную ось $\text{Re } z$ (горизонтальную) и мнимую ось $\text{Im } z$ (вертикальную).
2. Отметить на мнимой оси точку $-1$.
3. Провести из точки $(0, -1)$ луч вправо, параллельно действительной оси. Этот луч и будет графическим представлением искомого множества.

Ответ: Искомое множество — это луч, выходящий из точки $z = -i$ (координаты $(0, -1)$) и идущий вправо параллельно действительной оси. Математически это множество можно описать как $\{z \in \mathbb{C} \mid z = x - i, \text{где } x \ge 0\}$.

3. Изобразите на координатной плоскости множество всех чисел $z \in \mathbb{C}$, у которых $\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z=0$.

3.

Любое комплексное число $z \in \mathbb{C}$ можно представить в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y$ — действительные числа. При этом $x$ называется действительной (или вещественной) частью числа $z$ и обозначается как $\text{Re } z$, а $y$ — мнимой частью, обозначаемой как $\text{Im } z$.

Таким образом, мы имеем:

• $\text{Re } z = x$
• $\text{Im } z = y$

Согласно условию задачи, необходимо найти множество всех таких чисел $z$, для которых выполняется равенство:

$\text{Re } z + \text{Im } z = 0$

Подставим в это уравнение $x$ и $y$:

$x + y = 0$

Это линейное уравнение, которое можно записать в виде $y = -x$.

На комплексной плоскости действительная часть $x$ откладывается по горизонтальной оси (оси абсцисс), а мнимая часть $y$ — по вертикальной оси (оси ординат). Уравнение $y = -x$ задает прямую, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Эта прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент, равный -1.

Графически это множество точек выглядит следующим образом:

Ответ: Искомое множество чисел $z$ на координатной плоскости представляет собой прямую, заданную уравнением $y = -x$, где $x = \text{Re } z$ и $y = \text{Im } z$. Эта прямая является биссектрисой II и IV координатных квадрантов.

46.1. а) $y = x^8 - 1$, $[-1; 2];$

б) $y = -x^5 + 2$, $[-2; 1];$

В) $y = x^3 - 4$, $[0; 3];$

Г) $y = -2x^4 + 8$, $[0; 3].$

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^8 - 1$ на отрезке $[-1; 2]$ используется следующий алгоритм:
1. Находим производную функции: $y' = (x^8 - 1)' = 8x^7$.
2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: $8x^7 = 0$, откуда получаем $x = 0$.
3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x=0$ заданному отрезку $[-1; 2]$. Точка $x=0$ принадлежит этому отрезку.
4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:
$y(0) = 0^8 - 1 = -1$
$y(-1) = (-1)^8 - 1 = 1 - 1 = 0$
$y(2) = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$
5. Сравниваем полученные значения: -1, 0 и 255. Наименьшее из этих значений равно -1, а наибольшее равно 255.
Ответ: $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 255$.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$:
1. Находим производную функции: $y' = (-x^5 + 2)' = -5x^4$.
2. Находим критические точки: $-5x^4 = 0$, откуда $x = 0$.
3. Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(0) = -(0)^5 + 2 = 2$
$y(-2) = -(-2)^5 + 2 = -(-32) + 2 = 32 + 2 = 34$
$y(1) = -(1)^5 + 2 = -1 + 2 = 1$
5. Сравниваем полученные значения: 2, 34 и 1. Наименьшее из этих значений равно 1, а наибольшее равно 34.
Ответ: $y_{наим} = 1$, $y_{наиб} = 34$.

в) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^3 - 4$ на отрезке $[0; 3]$:
1. Находим производную функции: $y' = (x^3 - 4)' = 3x^2$.
2. Находим критические точки: $3x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
3. Критическая точка $x=0$ совпадает с левым концом отрезка $[0; 3]$. Поэтому для нахождения экстремумов достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
$y(0) = 0^3 - 4 = -4$
$y(3) = 3^3 - 4 = 27 - 4 = 23$
5. Сравнивая значения $y(0)=-4$ и $y(3)=23$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -4, а наибольшее — 23.
Ответ: $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 23$.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$:
1. Находим производную функции: $y' = (-2x^4 + 8)' = -8x^3$.
2. Находим критические точки: $-8x^3 = 0$, откуда $x = 0$.
3. Критическая точка $x=0$ совпадает с левым концом отрезка $[0; 3]$. Поэтому для нахождения экстремумов достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
$y(0) = -2(0)^4 + 8 = 8$
$y(3) = -2(3)^4 + 8 = -2(81) + 8 = -162 + 8 = -154$
5. Сравнивая значения $y(0)=8$ и $y(3)=-154$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -154, а наибольшее — 8.
Ответ: $y_{наим} = -154$, $y_{наиб} = 8$.

46.2. a) $y = (x - 1)^3 + 4$, $[-2; 1];$

б) $y = 7 - (2x - 8)^4$, $[-1; 3];$

в) $y = 5 - (3x + 6)$, $[-2; 0];$

г) $y = 2(x + 3)^6 - 4$, $[-1; 2].$

а) Задача состоит в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции $y = (x - 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$.
Алгоритм решения:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует).
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции:
$y' = ((x - 1)^3 + 4)' = 3(x - 1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x - 1)^2$.
2. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$3(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
3. Критическая точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$ (является его правым концом).
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$ (точка $x=1$ уже включена):
$y(-2) = (-2 - 1)^3 + 4 = (-3)^3 + 4 = -27 + 4 = -23$.
$y(1) = (1 - 1)^3 + 4 = 0^3 + 4 = 4$.
5. Сравниваем значения: -23 и 4. Наименьшее значение -23, наибольшее - 4.
Ответ: $y_{наим} = -23, y_{наиб} = 4$.

б) Находим наибольшее и наименьшее значения функции $y = 7 - (2x - 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$.
1. Находим производную функции:
$y' = (7 - (2x - 8)^4)' = -4(2x - 8)^3 \cdot (2x - 8)' = -4(2x - 8)^3 \cdot 2 = -8(2x - 8)^3$.
2. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$-8(2x - 8)^3 = 0 \implies 2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
3. Критическая точка $x = 4$ не принадлежит отрезку $[-1; 3]$.
4. Так как на отрезке нет критических точек, функция на нем монотонна. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычисляем их:
$y(-1) = 7 - (2(-1) - 8)^4 = 7 - (-10)^4 = 7 - 10000 = -9993$.
$y(3) = 7 - (2(3) - 8)^4 = 7 - (6 - 8)^4 = 7 - (-2)^4 = 7 - 16 = -9$.
5. Сравниваем значения: -9993 и -9. Наименьшее значение -9993, наибольшее - -9.
Ответ: $y_{наим} = -9993, y_{наиб} = -9$.

в) Находим наибольшее и наименьшее значения функции $y = 5 - (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$.
Сначала упростим выражение для функции:
$y = 5 - 3x - 6 = -3x - 1$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$ с коэффициентом $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей числовой оси, включая отрезок $[-2; 0]$.
Для монотонно убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левом конце, а наименьшее — в правом.
1. Вычисляем значение в левом конце отрезка, $x = -2$:
$y(-2) = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
2. Вычисляем значение в правом конце отрезка, $x = 0$:
$y(0) = -3(0) - 1 = 0 - 1 = -1$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее равно -1.
Ответ: $y_{наим} = -1, y_{наиб} = 5$.

г) Находим наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2(x + 3)^6 - 4$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Находим производную функции:
$y' = (2(x + 3)^6 - 4)' = 2 \cdot 6(x + 3)^5 \cdot (x+3)' = 12(x + 3)^5$.
2. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$12(x + 3)^5 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$.
3. Критическая точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
4. Так как на отрезке нет критических точек, функция на нем монотонна. Для $x \in [-1; 2]$ производная $y' = 12(x + 3)^5$ положительна (т.к. $x+3 > 0$), значит, функция возрастает. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычисляем их:
$y(-1) = 2(-1 + 3)^6 - 4 = 2(2)^6 - 4 = 2 \cdot 64 - 4 = 128 - 4 = 124$.
$y(2) = 2(2 + 3)^6 - 4 = 2(5)^6 - 4 = 2 \cdot 15625 - 4 = 31250 - 4 = 31246$.
5. Сравниваем значения: 124 и 31246. Наименьшее значение 124, наибольшее - 31246.
Ответ: $y_{наим} = 124, y_{наиб} = 31246$.

46.3. а) $y = \sin x - 3$, $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right];$

б) $y = \cos x + 0,5$, $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right];$

в) $y = -2 \sin x + 1$, $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5}{6}\pi\right];$

г) $y = 4 - 3 \cos x$, $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7}{6}\pi\right].$

а) Для функции $y = \sin x - 3$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 3\pi]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Сначала определим диапазон значений функции $\sin x$ на данном отрезке. Область значений синуса — это $[-1, 1]$. Длина заданного отрезка $3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$, что больше полного периода $2\pi$. Это означает, что на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 3\pi]$ функция $\sin x$ принимает все свои возможные значения. Наибольшее значение $\sin x$ равно 1 (достигается, например, при $x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{5\pi}{2}$). Наименьшее значение $\sin x$ равно -1 (достигается при $x = \frac{3\pi}{2}$). Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет: $y_{наиб} = 1 - 3 = -2$. А наименьшее значение функции $y$ будет: $y_{наим} = -1 - 3 = -4$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшее значение равно -2.

б) Для функции $y = \cos x + 0,5$ на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{3}]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Рассмотрим значения, которые принимает $\cos x$ на этом отрезке. На заданном отрезке находится точка $x=0$, в которой косинус достигает своего максимума: $\cos(0) = 1$. Также на границе отрезка находится точка $x=-\pi$, в которой косинус достигает своего минимума: $\cos(-\pi) = -1$. Таким образом, на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{3}]$ функция $\cos x$ принимает все значения от -1 до 1. Наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 1 + 0,5 = 1,5$. Наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -1 + 0,5 = -0,5$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -0,5, наибольшее значение равно 1,5.

в) Для функции $y = -2 \sin x + 1$ на отрезке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Сначала определим диапазон значений функции $\sin x$ на отрезке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$. Данный отрезок включает точку $x = \frac{\pi}{2}$, в которой синус достигает своего максимума: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Вычислим значения синуса на концах отрезка: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Сравнивая значения, видим, что наименьшее значение $\sin x$ на отрезке равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее равно 1. Таким образом, $\sin x \in [\frac{1}{2}, 1]$. Так как функция $y = -2 \sin x + 1$ имеет отрицательный коэффициент перед $\sin x$, она является убывающей относительно $\sin x$. Это значит, что её наибольшее значение достигается при наименьшем значении $\sin x$, и наоборот. Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = -2 \cdot (\frac{1}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$. Наименьшее значение функции $y$: $y_{наим} = -2 \cdot 1 + 1 = -2 + 1 = -1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 0.

г) Для функции $y = 4 - 3 \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Определим диапазон значений функции $\cos x$ на данном отрезке. Отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}]$ содержит точку $x=0$, где $\cos(0) = 1$ (максимум косинуса), и точку $x=\pi$, где $\cos(\pi) = -1$ (минимум косинуса). Следовательно, на этом отрезке функция $\cos x$ принимает все значения от -1 до 1. Функция $y = 4 - 3 \cos x$ имеет отрицательный коэффициент перед $\cos x$, поэтому она убывает при возрастании $\cos x$. Наибольшее значение $y$ будет при наименьшем значении $\cos x$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении $\cos x$. Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = 4 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7$. Наименьшее значение функции $y$: $y_{наим} = 4 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 7.

46.4. a) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$, $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

б) $y = \sqrt{1 + \sin x}$, $[0; \frac{\pi}{2}]$;

в) $y = \sqrt{1 - \sin 2x}$, $[0; \pi]$;

г) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$, $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

а) Дана функция $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Тогда функция принимает вид: $y = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$.
На отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ (I и IV координатные четверти) косинус неотрицателен: $\cos x \ge 0$.
Следовательно, $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается до $y = \sqrt{2} \cos x$.
Ответ: $y = \sqrt{2} \cos x$.

б) Дана функция $y = \sqrt{1 + \sin x}$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Представим выражение под корнем в виде полного квадрата, используя тождество $1 = \sin^2(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2})$ и формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$:
$1 + \sin x = \sin^2(\frac{x}{2}) + 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) + \cos^2(\frac{x}{2}) = (\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}))^2$.
Тогда $y = \sqrt{(\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}))^2} = |\sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})|$.
На отрезке $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, аргумент $\frac{x}{2}$ принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{4}]$. В этом диапазоне $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ и $\cos(\frac{x}{2}) > 0$, поэтому их сумма положительна.
Следовательно, модуль можно опустить: $y = \sin(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2})$.
Ответ: $y = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{1 - \sin 2x}$ на отрезке $[0; \pi]$.
Преобразуем подкоренное выражение, используя $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$1 - \sin 2x = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x - \cos x)^2$.
Тогда $y = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|$.
Для раскрытия модуля определим знак выражения $\sin x - \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$. Выражение равно нулю при $\sin x = \cos x$, что на данном отрезке соответствует $x = \frac{\pi}{4}$.
- Если $x \in [0; \frac{\pi}{4}]$, то $\cos x \ge \sin x$, значит $\sin x - \cos x \le 0$, и $|\sin x - \cos x| = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x$.
- Если $x \in (\frac{\pi}{4}; \pi]$, то $\sin x > \cos x$, значит $\sin x - \cos x > 0$, и $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$.
Функцию можно представить в кусочно-заданном виде:
$y = \begin{cases} \cos x - \sin x, & \text{при } x \in [0; \frac{\pi}{4}] \\ \sin x - \cos x, & \text{при } x \in (\frac{\pi}{4}; \pi] \end{cases}$
Ответ: $y = |\sin x - \cos x| = \begin{cases} \cos x - \sin x, & x \in [0; \frac{\pi}{4}] \\ \sin x - \cos x, & x \in (\frac{\pi}{4}; \pi] \end{cases}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.
Используем формулу $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Функция принимает вид: $y = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x|$.
На отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$ (IV координатная четверть) косинус неотрицателен: $\cos x \ge 0$.
Следовательно, $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается до $y = \sqrt{2} \cos x$.
Ответ: $y = \sqrt{2} \cos x$.

46.5. a) $y = \left| \left| x \right| - 4 \right|$, $[-3; 3]$;

б) $y = \left| 3 - \left| x \right| \right|$, $[-4, 4]$.

а) Требуется построить график функции $y = ||x| - 4|$ на отрезке $[-3; 3]$.

Построение графика можно выполнить в несколько шагов:

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = |x|$. Это две прямые, $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Затем построим график функции $y_2 = |x| - 4$. Этот график получается из графика $y_1 = |x|$ сдвигом вниз по оси Oy на 4 единицы. Вершина сместится в точку $(0, -4)$.
3. Теперь построим график итоговой функции $y = ||x| - 4|$. Этот график получается из графика $y_2 = |x| - 4$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика $y_2$ находится ниже оси Ox при $|x| - 4 < 0$, то есть при $|x| < 4$, что соответствует интервалу $(-4, 4)$.
4. Нам нужно построить график на отрезке $x \in [-3; 3]$. Этот отрезок полностью лежит внутри интервала $(-4, 4)$, на котором, как мы выяснили, выражение $|x|-4$ отрицательно.

Следовательно, на отрезке $[-3; 3]$ модуль раскрывается следующим образом: $y = ||x| - 4| = -(|x| - 4) = 4 - |x|$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 4 - |x|$ на отрезке $[-3; 3]$.

Найдем координаты ключевых точек:

• При $x = -3$: $y = 4 - |-3| = 4 - 3 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
• При $x = 0$: $y = 4 - |0| = 4 - 0 = 4$. Точка $(0, 4)$ (вершина).
• При $x = 3$: $y = 4 - |3| = 4 - 3 = 1$. Точка $(3, 1)$.

График состоит из двух отрезков прямых: отрезка, соединяющего точки $(-3, 1)$ и $(0, 4)$, и отрезка, соединяющего точки $(0, 4)$ и $(3, 1)$.

Ответ: График функции на отрезке $[-3; 3]$ представляет собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков, соединяющих точки с координатами $(-3, 1)$, $(0, 4)$ и $(3, 1)$.

б) Требуется построить график функции $y = |3 - |x||$ на отрезке $[-4; 4]$.

Заметим, что в силу свойства модуля $|a| = |-a|$, мы можем переписать функцию как $y = |-(|x| - 3)| = ||x| - 3|$.

Построение графика функции $y = ||x| - 3|$ выполняется аналогично предыдущему пункту:

1. Строим график $y_1 = |x|$.
2. Сдвигаем его на 3 единицы вниз, получаем график $y_2 = |x| - 3$. Вершина в точке $(0, -3)$, пересечения с осью Ox в точках $x=-3$ и $x=3$.
3. Отражаем часть графика $y_2$, лежащую ниже оси Ox, относительно этой оси. Отрицательные значения $y_2$ принимаются на интервале $(-3, 3)$.

Таким образом, итоговая функция $y = ||x| - 3|$ будет задана кусочно:

• $y = |x| - 3$, если $|x| \ge 3$ (т.е. $x \le -3$ или $x \ge 3$)
• $y = -(|x| - 3) = 3 - |x|$, если $|x| < 3$ (т.е. $-3 < x < 3$)

Рассмотрим функцию на заданном отрезке $x \in [-4; 4]$. Нам нужно учесть все участки.

Найдем координаты ключевых точек на отрезке $[-4; 4]$:

• При $x = -4$ (участок $|x| \ge 3$): $y = |-4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-4, 1)$.
• При $x = -3$ (точка "излома"): $y = |-3| - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.
• При $x = 0$ (участок $|x| < 3$): $y = 3 - |0| = 3$. Точка $(0, 3)$ (локальный максимум, вершина).
• При $x = 3$ (точка "излома"): $y = |3| - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.
• При $x = 4$ (участок $|x| \ge 3$): $y = |4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(4, 1)$.

График состоит из четырех отрезков прямых, последовательно соединяющих вычисленные точки. Внешне он напоминает букву "W".

Ответ: График функции на отрезке $[-4; 4]$ представляет собой ломаную линию, состоящую из четырех отрезков, последовательно соединяющих точки с координатами $(-4, 1)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 0)$ и $(4, 1)$.

46.6. a) $y = 2 - 3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $y = 3 \sin x - 4 \cos x + 1$.

a) $y = 2 - 3\sin x + 4\cos x$

Для нахождения области значений функции, представленной в виде $y = C + a\sin x + b\cos x$, используется метод введения вспомогательного угла. Область значений для выражения $a\sin x + b\cos x$ представляет собой отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

Рассмотрим часть функции $4\cos x - 3\sin x$. В данном случае коэффициенты при тригонометрических функциях: $a = -3$ (коэффициент при $\sin x$) и $b = 4$ (коэффициент при $\cos x$).

Вычислим амплитуду $R$ для этого выражения:

$R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Это означает, что значения выражения $4\cos x - 3\sin x$ находятся в пределах от $-5$ до $5$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-5 \le 4\cos x - 3\sin x \le 5$.

Теперь вернемся к исходной функции $y = 2 + (4\cos x - 3\sin x)$. Чтобы найти ее область значений, прибавим константу $2$ ко всем частям полученного неравенства:

$2 - 5 \le 2 + 4\cos x - 3\sin x \le 2 + 5$

$-3 \le y \le 7$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $7$. Область значений функции (обозначается как $E(y)$) — это отрезок $[-3; 7]$.

Ответ: $E(y) = [-3; 7]$.

б) $y = 3\sin x - 4\cos x + 1$

Решение аналогично предыдущему пункту. Сначала рассмотрим выражение $3\sin x - 4\cos x$. Здесь коэффициенты $a = 3$ и $b = -4$.

Вычислим амплитуду $R$:

$R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Следовательно, область значений выражения $3\sin x - 4\cos x$ есть отрезок $[-5; 5]$:

$-5 \le 3\sin x - 4\cos x \le 5$.

Теперь учтем константу $+1$ в исходной функции $y = (3\sin x - 4\cos x) + 1$. Прибавим $1$ ко всем частям неравенства:

$-5 + 1 \le 3\sin x - 4\cos x + 1 \le 5 + 1$

$-4 \le y \le 6$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-4$, а наибольшее равно $6$. Область значений функции $E(y)$ — это отрезок $[-4; 6]$.

Ответ: $E(y) = [-4; 6]$.

46.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \begin{cases} -4x + 12, \text{ если } x < 2 \\ x^2 - 2x + 2, \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

на отрезке:

а) $[-3; 0];$

б) $[3; 4];$

в) $[-1; 3];$

г) $[1; 4].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений кусочно-заданной функции на отрезке, необходимо исследовать ее поведение на каждом из участков, а также в точке "склейки" $x=2$.

Функция задана как: $y = \begin{cases} -4x + 12, & \text{если } x < 2 \\ x^2 - 2x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

При $x < 2$ имеем линейную функцию $y = -4x + 12$. Так как угловой коэффициент $k=-4$ отрицателен, функция на этом промежутке убывает.

При $x \ge 2$ имеем квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_в = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. Поскольку рассматриваемый промежуток $x \ge 2$ лежит правее вершины, функция на этом промежутке возрастает.

а) Найдем значения на отрезке $[-3; 0]$.

Все значения $x$ из этого отрезка удовлетворяют условию $x < 2$. Следовательно, на всем отрезке функция задается формулой $y = -4x + 12$.

Поскольку эта функция является убывающей, свое наибольшее значение на отрезке она принимает в левом конце, а наименьшее — в правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = -4 \cdot (-3) + 12 = 12 + 12 = 24$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = -4 \cdot 0 + 12 = 0 + 12 = 12$.

Ответ: наибольшее значение 24, наименьшее значение 12.

б) Найдем значения на отрезке $[3; 4]$.

Все значения $x$ из этого отрезка удовлетворяют условию $x \ge 2$. Следовательно, на всем отрезке функция задается формулой $y = x^2 - 2x + 2$.

Поскольку эта функция является возрастающей на промежутке $[2; +\infty)$, она возрастает и на отрезке $[3; 4]$. Свое наименьшее значение на отрезке она принимает в левом конце, а наибольшее — в правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10$.

Ответ: наибольшее значение 10, наименьшее значение 5.

в) Найдем значения на отрезке $[-1; 3]$.

Этот отрезок содержит точку $x=2$, в которой меняется формула функции. Поэтому для нахождения экстремумов нужно сравнить значения функции на концах отрезка, $y(-1)$ и $y(3)$, и значение функции в точке $x=2$.

Вычислим значения в этих точках:

• При $x = -1$ (так как $-1 < 2$): $y(-1) = -4 \cdot (-1) + 12 = 4 + 12 = 16$.
• При $x = 2$: $y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$.
• При $x = 3$ (так как $3 \ge 2$): $y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$.

Сравнивая полученные значения $\{16, 2, 5\}$, находим, что наибольшее значение равно 16, а наименьшее равно 2.

Ответ: наибольшее значение 16, наименьшее значение 2.

г) Найдем значения на отрезке $[1; 4]$.

Этот отрезок также содержит точку $x=2$. Сравним значения функции на концах отрезка, $y(1)$ и $y(4)$, и значение в точке $x=2$.

Вычислим значения в этих точках:

• При $x = 1$ (так как $1 < 2$): $y(1) = -4 \cdot 1 + 12 = -4 + 12 = 8$.
• При $x = 2$: $y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$.
• При $x = 4$ (так как $4 \ge 2$): $y(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10$.

Сравнивая полученные значения $\{8, 2, 10\}$, находим, что наибольшее значение равно 10, а наименьшее равно 2.

Ответ: наибольшее значение 10, наименьшее значение 2.