Страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

46.24. а) $y = x + \frac{1}{x}$, $(-\infty; 0);$

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, $[0; +\infty);$

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, $(0; +\infty);$

г) $y = \sqrt{2x + 6} - x$, $[-3; +\infty).$

а) $y = x + \frac{1}{x}$, на промежутке $(-\infty; 0)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2}$

2. Найдем критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Заданному промежутку $(-\infty; 0)$ принадлежит только точка $x = -1$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x = -1$ делит промежуток $(-\infty; 0)$: $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = -1$ функция достигает локального максимума.

4. Вычислим значение функции в точке максимума:

$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

5. Исследуем поведение функции на концах промежутка:

$\lim_{x \to -\infty} (x + \frac{1}{x}) = -\infty$

$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = -\infty$

6. Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное -2, и не имеет наименьшего значения, так как она не ограничена снизу на данном промежутке.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = -2$; наименьшего значения не существует.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, на промежутке $[0; +\infty)$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(3x)'(x^2+3) - 3x(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \frac{3(x^2+3) - 3x(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{3x^2 + 9 - 6x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{9 - 3x^2}{(x^2+3)^2}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$\frac{9 - 3x^2}{(x^2+3)^2} = 0 \implies 9 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 9 \implies x^2 = 3$

Отсюда $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Промежутку $[0; +\infty)$ принадлежит только точка $x = \sqrt{3}$.

3. Определим знаки производной на интервалах $[0; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

• При $x \in [0; \sqrt{3})$, например $x=1$, $y'(1) = \frac{9-3(1)^2}{(1^2+3)^2} = \frac{6}{16} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = \frac{9-3(2)^2}{(2^2+3)^2} = \frac{9-12}{49} < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \sqrt{3}$ функция достигает локального максимума.

4. Вычислим значения функции на левой границе промежутка $x=0$ и в точке максимума $x = \sqrt{3}$.

$y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = 0$

$y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x^2 + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3/x}{1 + 3/x^2} = \frac{0}{1} = 0$

6. Сравнивая полученные значения $0$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$, заключаем, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$; наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, на промежутке $(0; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-2x - \frac{1}{2}x^{-1})' = -2 - \frac{1}{2}(-1)x^{-2} = -2 + \frac{1}{2x^2}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-2 + \frac{1}{2x^2} = 0 \implies \frac{1}{2x^2} = 2 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Промежутку $(0; +\infty)$ принадлежит только точка $x = \frac{1}{2}$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(0; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

• При $x \in (0; \frac{1}{2})$, например $x=0.1$, $y'(0.1) = -2 + \frac{1}{2(0.01)} = -2 + 50 = 48 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$, например $x=1$, $y'(1) = -2 + \frac{1}{2} = -1.5 < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{1}{2}$ функция достигает локального максимума.

4. Вычислим значение функции в точке максимума:

$y(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2(\frac{1}{2})} = -1 - \frac{1}{1} = -2$.

5. Исследуем поведение функции на концах промежутка:

$\lim_{x \to 0^+} (-2x - \frac{1}{2x}) = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} (-2x - \frac{1}{2x}) = -\infty$

6. Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное -2, и не имеет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = -2$; наименьшего значения не существует.

г) $y = \sqrt{2x+6} - x$, на промежутке $[-3; +\infty)$

1. Область определения функции: $2x+6 \geq 0 \implies x \geq -3$. Заданный промежуток совпадает с областью определения.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\sqrt{2x+6} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+6}} \cdot (2x+6)' - 1 = \frac{2}{2\sqrt{2x+6}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1$

3. Найдем критические точки. Производная не определена при $x = -3$, что является концом промежутка. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1 = 0 \implies \sqrt{2x+6} = 1 \implies 2x+6 = 1 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$

Точка $x = -2.5$ принадлежит промежутку $[-3; +\infty)$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-3; -2.5)$ и $(-2.5; +\infty)$.

• При $x \in (-3; -2.5)$, например $x=-2.75$, $2x+6=0.5$, $\sqrt{0.5} < 1$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2.5; +\infty)$, например $x=-1$, $2x+6=4$, $\sqrt{4} = 2$, значит $y' = \frac{1}{2}-1 < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = -2.5$ функция достигает локального максимума.

5. Вычислим значения функции на границе промежутка $x=-3$ и в точке максимума $x = -2.5$.

$y(-3) = \sqrt{2(-3)+6} - (-3) = \sqrt{0} + 3 = 3$

$y(-2.5) = \sqrt{2(-2.5)+6} - (-2.5) = \sqrt{-5+6} + 2.5 = \sqrt{1} + 2.5 = 3.5$

6. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{2x+6} - x) = \lim_{x \to +\infty} x(\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{6}{x^2}} - 1) = \infty \cdot (0-1) = -\infty$

7. Сравнивая значения $y(-3)=3$ и $y(-2.5)=3.5$, и учитывая, что функция уходит в $-\infty$, заключаем, что наибольшее значение равно 3.5, а наименьшего не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3.5$; наименьшего значения не существует.

46.25. a) $y = x^3 - 3x$, $(-\infty, 0];$

Б) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$, $[0; +\infty);$

В) $y = x^3 - 3x$, $[0; +\infty);$

Г) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$, $(-\infty; 0].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x$ на промежутке $(-\infty; 0]$ исследуем ее с помощью производной.

1. Найдём производную функции:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 0]$.

Точка $x_1 = 1$ не принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = -1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

$y(0) = 0^3 - 3(0) = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x) = -\infty$

Поскольку при $x \to -\infty$ функция стремится к $-\infty$, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнив вычисленные значения $y(-1)=2$ и $y(0)=0$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 2.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$, наименьшего значения не существует.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $[0; +\infty)$ исследуем ее с помощью производной.

1. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{x}{x^4 + 3}\right)' = \frac{(x)'(x^4 + 3) - x(x^4 + 3)'}{(x^4 + 3)^2} = \frac{1 \cdot (x^4 + 3) - x \cdot (4x^3)}{(x^4 + 3)^2} = \frac{x^4 + 3 - 4x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3 - 3x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3(1 - x^4)}{(x^4 + 3)^2}$

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 3(1 - x^4) = 0 \Rightarrow x^4 = 1$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; +\infty)$.

Точка $x_1 = 1$ принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ не принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = 1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(1) = \frac{1}{1^4 + 3} = \frac{1}{4}$

$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^4 + 3} = 0$

6. Сравним полученные значения: $y(1) = 1/4$, $y(0) = 0$ и предел на бесконечности, равный 0. Наибольшее значение равно $1/4$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{4}$, наименьшее значение $y_{наим} = 0$.

В)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x$ на промежутке $[0; +\infty)$ исследуем ее с помощью производной.

1. Производная функции: $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

2. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; +\infty)$.

Точка $x_1 = 1$ принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ не принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = 1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$y(0) = 0^3 - 3(0) = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x) = +\infty$

Поскольку при $x \to +\infty$ функция стремится к $+\infty$, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнив вычисленные значения $y(1)=-2$ и $y(0)=0$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -2.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшего значения не существует.

г)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $(-\infty; 0]$ исследуем ее с помощью производной.

1. Производная функции: $y' = \frac{3(1 - x^4)}{(x^4 + 3)^2}$.

2. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 0]$.

Точка $x_1 = 1$ не принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = -1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(-1) = \frac{-1}{(-1)^4 + 3} = \frac{-1}{1+3} = -\frac{1}{4}$

$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^4 + 3} = 0$

6. Сравним полученные значения: $y(-1) = -1/4$, $y(0) = 0$ и предел на бесконечности, равный 0. Наибольшее значение равно $0$, а наименьшее равно $-1/4$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, наименьшее значение $y_{наим} = -\frac{1}{4}$.

46.26. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции:

а) $y = x^4 - 2x^2 - 6$ на отрезке $[-2; 2];$

б) $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2].$

а)

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 2x^2 - 6$ на отрезке $[-2; 2]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная функции $y(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^4 - 2x^2 - 6)' = 4x^3 - 4x$.

2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех $x$.
Приравняем производную к нулю:
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-2; 2]$.
Все три точки ($0$, $1$, $-1$) принадлежат данному отрезку.

4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 - 6 = 16 - 2 \cdot 4 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2$
$y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 6 = 1 - 2 \cdot 1 - 6 = 1 - 2 - 6 = -7$
$y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 - 6 = -6$
$y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 - 6 = 1 - 2 - 6 = -7$
$y(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^2 - 6 = 16 - 2 \cdot 4 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2$

5. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 2$.
Наименьшее значение функции $y_{наим.} = -7$.

6. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений:
$y_{наиб.} + y_{наим.} = 2 + (-7) = -5$.

Ответ: -5.

б)

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2]$, проделаем аналогичные действия:

1. Найти производную функции:
$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

3. Проверить, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-1; 2]$.
Обе точки ($0$ и $2$) принадлежат данному отрезку.

4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Заметим, что точка $x=2$ является и критической, и концом отрезка.
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 \cdot 1 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$
$y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 3 \cdot 4 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$

5. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 2$.
Наименьшее значение функции $y_{наим.} = -2$.

6. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений:
$y_{наиб.} + y_{наим.} = 2 + (-2) = 0$.

Ответ: 0.

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения:

46.27.

а) Для нахождения значения аргумента, при котором функция $y = \sqrt{(x - 1)(10 - x)}$ достигает наибольшего значения, необходимо найти точку максимума подкоренного выражения $f(x) = (x - 1)(10 - x)$, поскольку функция квадратного корня является монотонно возрастающей на своей области определения.
Раскроем скобки в выражении для $f(x)$: $f(x) = 10x - x^2 - 10 + x = -x^2 + 11x - 10$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), следовательно, ветви параболы направлены вниз, и функция достигает своего наибольшего значения в вершине.
Абсциссу вершины параболы можно найти как среднее арифметическое её корней. Корни уравнения $(x - 1)(10 - x) = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = 10$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{1 + 10}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.
Это значение принадлежит области определения функции, которая задается неравенством $(x - 1)(10 - x) \ge 0$, то есть $x \in [1, 10]$.
Ответ: $5,5$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(x + 2)(4 - x)}$. Её наибольшее значение достигается при том же значении $x$, что и наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = (x + 2)(4 - x)$.
$f(x) = 4x - x^2 + 8 - 2x = -x^2 + 2x + 8$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдём корни уравнения $(x + 2)(4 - x) = 0$: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Это значение принадлежит области определения функции $x \in [-2, 4]$.
Ответ: $1$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(2x - 6)(7 - x)}$. Её наибольшее значение достигается при том же значении $x$, что и наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = (2x - 6)(7 - x)$.
$f(x) = 14x - 2x^2 - 42 + 6x = -2x^2 + 20x - 42$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдём корни уравнения $(2x - 6)(7 - x) = 0$. Из $2x-6=0$ получаем $x_1=3$, из $7-x=0$ получаем $x_2=7$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Это значение принадлежит области определения функции $x \in [3, 7]$.
Ответ: $5$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{(5 - x)(x - 3)}$. Её наибольшее значение достигается при том же значении $x$, что и наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = (5 - x)(x - 3)$.
$f(x) = 5x - 15 - x^2 + 3x = -x^2 + 8x - 15$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдём корни уравнения $(5 - x)(x - 3) = 0$: $x_1 = 5$ и $x_2 = 3$.
Абсцисса вершины: $x_{max} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Это значение принадлежит области определения функции $x \in [3, 5]$.
Ответ: $4$.

46.28. a) $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{9 - x}$;

б) $y = 3\sqrt{x + 1} + \sqrt{-x}$;

В) $y = \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x}$;

Г) $y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x}$.

а) Для нахождения множества значений функции $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{9 - x}$ исследуем ее на всей области определения.
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x - 5 \geq 0 \implies x \geq 5$
$9 - x \geq 0 \implies x \leq 9$
Таким образом, ОДЗ функции есть отрезок $D(y) = [5, 9]$.
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на этом отрезке, найдем ее производную:
$y' = (\sqrt{x - 5} + \sqrt{9 - x})' = \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} \cdot (x-5)' + \frac{1}{2\sqrt{9 - x}} \cdot (9-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} - \frac{1}{2\sqrt{9 - x}}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x - 5}} = \frac{1}{2\sqrt{9 - x}}$
$\sqrt{x - 5} = \sqrt{9 - x}$
Возведя обе части в квадрат, получим:
$x - 5 = 9 - x \implies 2x = 14 \implies x = 7$.
Критическая точка $x = 7$ принадлежит области определения $[5, 9]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(5) = \sqrt{5 - 5} + \sqrt{9 - 5} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 2$.
$y(9) = \sqrt{9 - 5} + \sqrt{9 - 9} = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2$.
$y(7) = \sqrt{7 - 5} + \sqrt{9 - 7} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Сравнивая полученные значения, находим, что $y_{min} = 2$ и $y_{max} = 2\sqrt{2}$.
Так как функция непрерывна на отрезке $[5, 9]$, ее множество значений — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $E(y) = [2, 2\sqrt{2}]$.

б) Для функции $y = 3\sqrt{x + 1} + \sqrt{-x}$ найдем множество значений.
Область определения (ОДЗ):
$x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$-x \geq 0 \implies x \leq 0$
Следовательно, $D(y) = [-1, 0]$.
Найдем производную функции:
$y' = (3\sqrt{x + 1} + \sqrt{-x})' = \frac{3}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{3}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \implies 3\sqrt{-x} = \sqrt{x + 1}$.
Возводим в квадрат: $9(-x) = x + 1 \implies -9x = x + 1 \implies -10x = 1 \implies x = -0.1$.
Эта точка принадлежит ОДЗ $[-1, 0]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(-1) = 3\sqrt{-1 + 1} + \sqrt{-(-1)} = 3\sqrt{0} + \sqrt{1} = 1$.
$y(0) = 3\sqrt{0 + 1} + \sqrt{-0} = 3\sqrt{1} + 0 = 3$.
$y(-0.1) = 3\sqrt{-0.1 + 1} + \sqrt{-(-0.1)} = 3\sqrt{0.9} + \sqrt{0.1} = 3\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{9+1}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.
Сравниваем значения $1$, $3$ и $\sqrt{10}$. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, то $1 < 3 < \sqrt{10}$.
Следовательно, $y_{min} = 1$ и $y_{max} = \sqrt{10}$.
Ответ: $E(y) = [1, \sqrt{10}]$.

в) Для функции $y = \sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x}$ найдем множество значений.
Область определения (ОДЗ):
$10 - 2x \geq 0 \implies 2x \leq 10 \implies x \leq 5$
$3x \geq 0 \implies x \geq 0$
Следовательно, $D(y) = [0, 5]$.
Найдем производную функции:
$y' = (\sqrt{10 - 2x} + \sqrt{3x})' = \frac{-2}{2\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2\sqrt{3x}} = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} + \frac{3}{2\sqrt{3x}}$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{3}{2\sqrt{3x}} = \frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} \implies 3\sqrt{10 - 2x} = 2\sqrt{3x}$.
Возводим в квадрат: $9(10 - 2x) = 4(3x) \implies 90 - 18x = 12x \implies 90 = 30x \implies x = 3$.
Точка $x = 3$ принадлежит ОДЗ $[0, 5]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(0) = \sqrt{10 - 0} + \sqrt{0} = \sqrt{10}$.
$y(5) = \sqrt{10 - 2 \cdot 5} + \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{0} + \sqrt{15} = \sqrt{15}$.
$y(3) = \sqrt{10 - 2 \cdot 3} + \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.
Сравниваем значения $\sqrt{10}$, $\sqrt{15}$ и $5$. Так как $5 = \sqrt{25}$, имеем $\sqrt{10} < \sqrt{15} < 5$.
Следовательно, $y_{min} = \sqrt{10}$ и $y_{max} = 5$.
Ответ: $E(y) = [\sqrt{10}, 5]$.

г) Для функции $y = \sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x}$ найдем множество значений.
Область определения (ОДЗ):
$8 - 3x \geq 0 \implies 3x \leq 8 \implies x \leq 8/3$
$x \geq 0$
Следовательно, $D(y) = [0, 8/3]$.
Найдем производную функции:
$y' = (\sqrt{8 - 3x} + \sqrt{x})' = \frac{-3}{2\sqrt{8 - 3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{8 - 3x}} \implies \sqrt{8 - 3x} = 3\sqrt{x}$.
Возводим в квадрат: $8 - 3x = 9x \implies 8 = 12x \implies x = 8/12 = 2/3$.
Точка $x = 2/3$ принадлежит ОДЗ $[0, 8/3]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
$y(0) = \sqrt{8 - 0} + \sqrt{0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$y(8/3) = \sqrt{8 - 3 \cdot (8/3)} + \sqrt{8/3} = \sqrt{0} + \sqrt{8/3} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
$y(2/3) = \sqrt{8 - 3 \cdot (2/3)} + \sqrt{2/3} = \sqrt{8 - 2} + \sqrt{2/3} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Сравним значения $2\sqrt{2}$, $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ и $\frac{4\sqrt{6}}{3}$. Возведем их в квадрат: $(2\sqrt{2})^2=8$; $(\frac{2\sqrt{6}}{3})^2=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$; $(\frac{4\sqrt{6}}{3})^2=\frac{96}{9}=\frac{32}{3}$.
Так как $\frac{8}{3} < 8 < \frac{32}{3}$, то $\frac{2\sqrt{6}}{3} < 2\sqrt{2} < \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Следовательно, $y_{min} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ и $y_{max} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $E(y) = [\frac{2\sqrt{6}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}]$.

46.29. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения:

а) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 17}$;

б) $y = \sqrt{7(x + 9)(x - 6)}$;

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$;

г) $y = \sqrt{2(x - 4)(x + 8)}$.

а) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 17}$

Данная функция $y = \sqrt{f(x)}$ является композицией двух функций: квадратного корня $g(z) = \sqrt{z}$ и квадратичной функции $f(x) = x^2 - 8x + 17$.

Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей своей области определения ($z \ge 0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при том же значении аргумента $x$, что и наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$, при условии, что это наименьшее значение неотрицательно.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 8x + 17$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $f(x) = x^2 - 8x + 17$ имеем $a=1$, $b=-8$, $c=17$.

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь найдём наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=4$ в $f(x)$:

$f(4) = 4^2 - 8(4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$.

Поскольку наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ равно 1 (положительное число), то наименьшее значение исходной функции $y$ существует и достигается при $x=4$.

Ответ: $4$.

б) $y = \sqrt{7(x+9)(x-6)}$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = 7(x+9)(x-6)$. Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратичной функции:

$f(x) = 7(x^2 - 6x + 9x - 54) = 7(x^2 + 3x - 54) = 7x^2 + 21x - 378$.

Это квадратичная функция с коэффициентом $a=7 > 0$, значит, её график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в вершине.

Абсциссу вершины параболы можно найти как среднее арифметическое корней. Корни уравнения $(x+9)(x-6)=0$ равны $x_1 = -9$ и $x_2 = 6$.

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-9 + 6}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$.

Найдём наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ при $x=-1.5$:

$f(-1.5) = 7(-1.5 + 9)(-1.5 - 6) = 7(7.5)(-7.5) = -393.75$.

Наименьшее значение подкоренного выражения отрицательно. Однако функция $y = \sqrt{f(x)}$ определена только там, где $f(x) \ge 0$.

Найдём область определения функции $y$. Решим неравенство $7(x+9)(x-6) \ge 0$.

Корнями являются $x=-9$ и $x=6$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [6, \infty)$.

В этой области определения мы ищем наименьшее значение функции $y$. Так как $f(x) \ge 0$ на области определения, а функция $\sqrt{z}$ возрастающая, наименьшее значение $y$ будет достигаться там, где $f(x)$ принимает наименьшее возможное неотрицательное значение. В данном случае это значение равно 0.

$f(x) = 0$ при $x=-9$ и $x=6$.

При этих значениях $x$ функция $y$ принимает своё наименьшее значение: $y = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $-9; 6$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$

Подкоренное выражение $f(x) = x^2 + 4x + 10$ является квадратичной функцией. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в вершине.

Найдём абсциссу вершины параболы $f(x)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Вычислим наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=-2$ в $f(x)$:

$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$.

Наименьшее значение подкоренного выражения равно 6, оно положительно. Следовательно, функция $y$ определена для всех действительных $x$, и её наименьшее значение достигается при том же $x$, что и у $f(x)$.

Таким образом, функция $y$ достигает своего наименьшего значения при $x=-2$.

Ответ: $-2$.

г) $y = \sqrt{2(x-4)(x+8)}$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = 2(x-4)(x+8)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх, так как после раскрытия скобок коэффициент при $x^2$ будет равен 2 (положительный).

$f(x) = 2(x^2 + 8x - 4x - 32) = 2(x^2 + 4x - 32) = 2x^2 + 8x - 64$.

Наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в вершине. Абсциссу вершины найдем как среднее арифметическое корней $x_1=4$ и $x_2=-8$.

$x_v = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Найдём наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ при $x=-2$:

$f(-2) = 2(-2 - 4)(-2 + 8) = 2(-6)(6) = -72$.

Так как наименьшее значение подкоренного выражения отрицательно, мы должны сначала определить область определения функции $y$. Функция $y$ определена при $f(x) \ge 0$.

Решим неравенство $2(x-4)(x+8) \ge 0$. Корни: $x=4$ и $x=-8$. Поскольку парабола $f(x)$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -8] \cup [4, \infty)$.

На этой области определения наименьшее значение, которое может принимать $f(x)$, равно 0. Это происходит в точках $x=-8$ и $x=4$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{0} = 0$, и оно достигается при $x=-8$ и $x=4$.

Ответ: $-8; 4$.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

46.30. а) $y = \sqrt{(x - 5)(15 - x)};$

б) $y = \sqrt{(2x + 4)(3 - x)};$

в) $y = \sqrt{(12 - x)(x - 4)};$

г) $y = \sqrt{(5 - x)(3x + 6)}.$

а) $y = \sqrt{(x - 5)(15 - x)}$
Область определения функции находится из условия неотрицательности подкоренного выражения: $(x - 5)(15 - x) \ge 0$. Решая это неравенство, получаем область определения: $x \in [5, 15]$.
Рассмотрим подкоренную функцию $f(x) = (x - 5)(15 - x) = -x^2 + 20x - 75$. Так как функция $g(t)=\sqrt{t}$ является возрастающей, то наибольшее и наименьшее значения функции $y$ будут достигаться при наибольшем и наименьшем значениях функции $f(x)$ соответственно.
График $f(x)$ — парабола с ветвями вниз. Ее наименьшее значение на отрезке $[5, 15]$ (между корнями) достигается на концах отрезка. При $x=5$ и $x=15$, $f(x)=0$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{5 + 15}{2} = 10$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(10) = (10 - 5)(15 - 10) = 5 \cdot 5 = 25$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 5.

б) $y = \sqrt{(2x + 4)(3 - x)}$
Область определения функции задается неравенством $(2x + 4)(3 - x) \ge 0$. Корни сомножителей: $x=-2$ и $x=3$. Так как это парабола с ветвями вниз, неравенство выполняется на отрезке $x \in [-2, 3]$.
Подкоренная функция $f(x) = (2x + 4)(3 - x) = -2x^2 + 2x + 12$.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке $[-2, 3]$ достигается на его концах и равно 0. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(\frac{1}{2}) = (2 \cdot \frac{1}{2} + 4)(3 - \frac{1}{2}) = (1 + 4)(2.5) = 5 \cdot 2.5 = 12.5$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

в) $y = \sqrt{(12 - x)(x - 4)}$
Область определения функции: $(12 - x)(x - 4) \ge 0$, что выполняется при $x \in [4, 12]$.
Подкоренная функция $f(x) = (12 - x)(x - 4) = -x^2 + 16x - 48$ является параболой с ветвями вниз.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке $[4, 12]$ равно 0 (на концах отрезка). Значит, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{4 + 12}{2} = 8$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(8) = (12 - 8)(8 - 4) = 4 \cdot 4 = 16$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 4.

г) $y = \sqrt{(5 - x)(3x + 6)}$
Область определения функции: $(5 - x)(3x + 6) \ge 0$. Корни: $x=5$ и $x=-2$. Так как это парабола с ветвями вниз, решение неравенства: $x \in [-2, 5]$.
Подкоренная функция $f(x) = (5 - x)(3x + 6) = -3x^2 + 9x + 30$.
Наименьшее значение $f(x)$ на отрезке $[-2, 5]$ равно 0 (на концах отрезка). Значит, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$.
Наибольшее значение $f(x)$ достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $x_v = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $f(1.5) = (5 - 1.5)(3 \cdot 1.5 + 6) = (3.5)(4.5 + 6) = 3.5 \cdot 10.5 = 36.75$.
Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = \sqrt{36.75} = \sqrt{\frac{147}{4}} = \frac{\sqrt{49 \cdot 3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение $\frac{7\sqrt{3}}{2}$.

46.31. a) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2};$

Б) $y = \sqrt{3x^2 + 6x + 4};$

В) $y = \sqrt{x^2 + 6x - 7};$

Г) $y = \sqrt{2x^2 - 2x + 1}.$

а) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2}$
Область определения функции — это множество всех значений $x$, для которых выражение под знаком корня неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках вне корней.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0.5] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0.5] \cup [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{3x^2 + 6x + 4}$
Область определения функции задается неравенством:
$3x^2 + 6x + 4 \ge 0$
Рассмотрим квадратный трехчлен $3x^2 + 6x + 4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 36 - 48 = -12$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=3>0$), то парабола $f(x) = 3x^2 + 6x + 4$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $3x^2 + 6x + 4$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 6x - 7}$
Область определения функции задается неравенством:
$x^2 + 6x - 7 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$
Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому она принимает неотрицательные значения на промежутках $x \le -7$ и $x \ge 1$.
Ответ: $(-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{2x^2 - 2x + 1}$
Область определения функции задается неравенством:
$2x^2 - 2x + 1 \ge 0$
Рассмотрим квадратный трехчлен $2x^2 - 2x + 1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=2>0$), то парабола $f(x) = 2x^2 - 2x + 1$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $2x^2 - 2x + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.