Номер 46.31, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.31. a) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2};$

Б) $y = \sqrt{3x^2 + 6x + 4};$

В) $y = \sqrt{x^2 + 6x - 7};$

Г) $y = \sqrt{2x^2 - 2x + 1}.$

а) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2}$
Область определения функции — это множество всех значений $x$, для которых выражение под знаком корня неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках вне корней.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0.5] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0.5] \cup [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{3x^2 + 6x + 4}$
Область определения функции задается неравенством:
$3x^2 + 6x + 4 \ge 0$
Рассмотрим квадратный трехчлен $3x^2 + 6x + 4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 36 - 48 = -12$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=3>0$), то парабола $f(x) = 3x^2 + 6x + 4$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $3x^2 + 6x + 4$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 6x - 7}$
Область определения функции задается неравенством:
$x^2 + 6x - 7 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$
Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому она принимает неотрицательные значения на промежутках $x \le -7$ и $x \ge 1$.
Ответ: $(-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{2x^2 - 2x + 1}$
Область определения функции задается неравенством:
$2x^2 - 2x + 1 \ge 0$
Рассмотрим квадратный трехчлен $2x^2 - 2x + 1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=2>0$), то парабола $f(x) = 2x^2 - 2x + 1$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $2x^2 - 2x + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.