Номер 46.36, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.36. a) $y = x \sqrt{x + 2}$;

б) $y = x \sqrt{1 - 2x}$.

a) $y = x\sqrt{x+2}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y = 0 \cdot \sqrt{0+2} = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
При $y=0$, $x\sqrt{x+2} = 0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1=0$ и $x_2=-2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Область определения $D(y) = [-2; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{x+2}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2} = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:
$y' = (x\sqrt{x+2})' = (x)'\sqrt{x+2} + x(\sqrt{x+2})' = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.
$\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} = 0 \implies 3x+4=0 \implies x = -\frac{4}{3}$.
Эта точка принадлежит области определения. Производная не существует в точке $x=-2$, которая является граничной точкой области определения.
Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-2; -4/3)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-4/3; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -4/3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(-4/3) = -\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.
Точка минимума: $(-4/3; -4\sqrt{6}/9)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$:
$y'' = \left(\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\right)' = \frac{(3x+4)'(2\sqrt{x+2}) - (3x+4)(2\sqrt{x+2})'}{(2\sqrt{x+2})^2} = \frac{3(2\sqrt{x+2}) - (3x+4)(\frac{1}{\sqrt{x+2}})}{4(x+2)} = \frac{6(x+2)-(3x+4)}{4(x+2)\sqrt{x+2}} = \frac{3x+8}{4(x+2)\sqrt{x+2}}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $3x+8 = 0 \implies x = -8/3$. Эта точка не входит в область определения функции.
Для всех $x \in (-2, +\infty)$ числитель $3x+8 > 3(-2)+8=2 > 0$ и знаменатель $4(x+2)\sqrt{x+2} > 0$.
Следовательно, $y'' > 0$ на всей области определения $(-2, +\infty)$. Это означает, что функция является вогнутой (выпуклой вниз) на всей своей области определения. Точек перегиба нет.

Ответ: Функция $y=x\sqrt{x+2}$ определена на $x \in [-2, +\infty)$; пересекает оси в точках $(-2,0)$ и $(0,0)$; не является четной или нечетной; асимптот не имеет; убывает на $[-2, -4/3]$ и возрастает на $[-4/3, +\infty)$; имеет точку минимума $(-4/3, -4\sqrt{6}/9)$; является вогнутой на всей области определения; точек перегиба нет.

б) $y = x\sqrt{1-2x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-2x \ge 0$, откуда $2x \le 1$, $x \le 1/2$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1/2]$.

2. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y = 0 \cdot \sqrt{1-0} = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
При $y=0$, $x\sqrt{1-2x} = 0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1=0$ и $x_2=1/2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(1/2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Область определения $D(y) = (-\infty; 1/2]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$ при $x \to -\infty$.
$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\sqrt{1-2x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1-2x} = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:
$y' = (x\sqrt{1-2x})' = (x)'\sqrt{1-2x} + x(\sqrt{1-2x})' = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + x \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \sqrt{1-2x} - \frac{x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.
$\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}} = 0 \implies 1-3x=0 \implies x = \frac{1}{3}$.
Эта точка принадлежит области определения. Производная не существует в точке $x=1/2$, которая является граничной точкой области определения.
Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; 1/3)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1/3; 1/2)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(1/3) = \frac{1}{3}\sqrt{1-2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.
Точка максимума: $(1/3; \sqrt{3}/9)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}\right)' = \frac{(1-3x)'\sqrt{1-2x} - (1-3x)(\sqrt{1-2x})'}{(\sqrt{1-2x})^2} = \frac{-3\sqrt{1-2x} - (1-3x)(\frac{-1}{\sqrt{1-2x}})}{1-2x} = \frac{-3(1-2x)+(1-3x)}{(1-2x)\sqrt{1-2x}} = \frac{-3+6x+1-3x}{(1-2x)^{3/2}} = \frac{3x-2}{(1-2x)^{3/2}}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $3x-2 = 0 \implies x = 2/3$. Эта точка не входит в область определения функции ($2/3 > 1/2$).
Для всех $x \in (-\infty, 1/2)$ числитель $3x-2 < 3(1/2)-2 = 1.5-2 = -0.5 < 0$ и знаменатель $(1-2x)^{3/2} > 0$.
Следовательно, $y'' < 0$ на всей области определения $(-\infty, 1/2)$. Это означает, что функция является выпуклой (выпуклой вверх) на всей своей области определения. Точек перегиба нет.

Ответ: Функция $y=x\sqrt{1-2x}$ определена на $x \in (-\infty, 1/2]$; пересекает оси в точках $(0,0)$ и $(1/2,0)$; не является четной или нечетной; асимптот не имеет; возрастает на $(-\infty, 1/3]$ и убывает на $[1/3, 1/2]$; имеет точку максимума $(1/3, \sqrt{3}/9)$; является выпуклой на всей области определения; точек перегиба нет.