Номер 46.38, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.38. a) При каком значении параметра a наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} + a$ равно $-6\sqrt{3}$?

б) При каком значении параметра a наибольшее значение функции $y = (a - x)\sqrt{x}$ равно $10\sqrt{5}$?

а)

Дана функция $y = x\sqrt{x} + a$. Необходимо найти значение параметра $a$, при котором наименьшее значение функции равно $-6\sqrt{3}$.

Сначала определим область определения функции. Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это луч $[0, +\infty)$.

Функцию можно представить в виде $y(x) = x^{1} \cdot x^{1/2} + a = x^{3/2} + a$.

Для нахождения наименьшего значения функции исследуем ее на монотонность с помощью производной:

$y'(x) = (x^{3/2} + a)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

На всей области определения $x \ge 0$ производная $y'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ также неотрицательна ($y'(x) \ge 0$). Это означает, что функция $y(x)$ является неубывающей на всей своей области определения.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левой границе своей области определения, то есть в точке $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{наим} = y(0) = 0 \cdot \sqrt{0} + a = a$.

По условию, наименьшее значение функции равно $-6\sqrt{3}$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$a = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $a = -6\sqrt{3}$.

б)

Дана функция $y = (a - x)\sqrt{x}$. Необходимо найти значение параметра $a$, при котором наибольшее значение функции равно $10\sqrt{5}$.

Область определения функции, как и в предыдущем случае, $x \ge 0$.

Раскроем скобки, чтобы было удобнее дифференцировать: $y(x) = a\sqrt{x} - x\sqrt{x} = ax^{1/2} - x^{3/2}$.

Найдем производную функции для поиска точек экстремума:

$y'(x) = (ax^{1/2} - x^{3/2})' = a \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю (рассматриваем $x>0$):

$\frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$

$\frac{a}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$:

$a = 3x$

Отсюда, $x = \frac{a}{3}$.

Это точка возможного экстремума. Для того чтобы $x > 0$, необходимо, чтобы $a > 0$.

Определим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого исследуем знак производной $y'(x) = \frac{a - 3x}{2\sqrt{x}}$.

При $0 < x < \frac{a}{3}$, выражение $a-3x$ положительно, значит $y'(x) > 0$ и функция возрастает.

При $x > \frac{a}{3}$, выражение $a-3x$ отрицательно, значит $y'(x) < 0$ и функция убывает.

Таким образом, при переходе через точку $x = \frac{a}{3}$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точке максимума. Так как на краях области определения ($x=0$ и $x \to \infty$) значения функции равны $y(0)=0$ и $y(x) \to -\infty$, то это глобальный максимум.

Теперь найдем это наибольшее значение, подставив $x = \frac{a}{3}$ в исходную функцию:

$y_{наиб} = y(\frac{a}{3}) = (a - \frac{a}{3})\sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$.

По условию задачи, это значение равно $10\sqrt{5}$. Составим уравнение:

$\frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = 10\sqrt{5}$

Выразим $a\sqrt{a}$:

$a\sqrt{a} = \frac{10\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{15}$.

Заметим, что $a\sqrt{a} = a^{3/2}$ и $15\sqrt{15} = 15^{3/2}$.

$a^{3/2} = 15^{3/2}$

Следовательно, $a = 15$.

Ответ: $a = 15$.