Номер 46.45, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.45. a) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

а)

Пусть искомые числа равны $x$ и $y$.

Согласно условию, их разность равна 10. Запишем это в виде уравнения:
$x - y = 10$
Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $x$:
$x = y + 10$

Произведение этих чисел, которое мы обозначим как $P$, должно принимать наименьшее значение:
$P = x \cdot y$

Подставим выражение для $x$ в формулу произведения, чтобы получить функцию от одной переменной $y$:
$P(y) = (y + 10) \cdot y = y^2 + 10y$

Мы получили квадратичную функцию $P(y) = y^2 + 10y$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $y^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая находится в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $f(t) = at^2 + bt + c$, находят по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $P(y) = y^2 + 10y$ имеем $a=1$ и $b=10$. Найдем значение $y$, при котором произведение $P$ будет минимальным:
$y_0 = -\frac{10}{2 \cdot 1} = -5$

Теперь, зная $y$, найдем соответствующее значение $x$:
$x = y_0 + 10 = -5 + 10 = 5$

Таким образом, искомые числа — это 5 и -5.

Ответ: 5 и -5.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Пусть искомые числа — $x$ и $y$.

Их разность равна 98, поэтому:
$x - y = 98$
Выразим $x$ через $y$:
$x = y + 98$

Произведение этих чисел $P = x \cdot y$. Подставим выражение для $x$:
$P(y) = (y + 98) \cdot y = y^2 + 98y$

Это снова квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине.
Для функции $P(y) = y^2 + 98y$ коэффициенты равны $a=1$ и $b=98$. Найдем координату вершины:
$y_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{98}{2 \cdot 1} = -49$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = y_0 + 98 = -49 + 98 = 49$

Следовательно, искомые числа — это 49 и -49.

Ответ: 49 и -49.