Номер 46.51, страница 285, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.51. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью $2500 \text{ м}^2$. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки-рабицы?

Пусть стороны прямоугольной спортивной площадки равны $a$ и $b$ метров.

Площадь площадки $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$

По условию задачи, площадь равна 2500 м?: $a \cdot b = 2500$

Количество сетки-рабицы для забора равно периметру прямоугольника $P$, который вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения $a$ и $b$, при которых периметр $P$ будет наименьшим.

Из формулы площади выразим одну переменную через другую, например, $b$: $b = \frac{2500}{a}$

Подставим это выражение в формулу периметра, чтобы получить функцию периметра, зависящую только от одной переменной $a$: $P(a) = 2 \left( a + \frac{2500}{a} \right) = 2a + \frac{5000}{a}$

Для нахождения наименьшего значения функции, найдем её производную по переменной $a$ и приравняем её к нулю. Это позволит найти точки экстремума (в данном случае, точку минимума).

Находим производную функции $P(a)$: $P'(a) = \left( 2a + \frac{5000}{a} \right)' = (2a)' + (5000a^{-1})' = 2 - 5000a^{-2} = 2 - \frac{5000}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $P'(a) = 0$ $2 - \frac{5000}{a^2} = 0$

Решим полученное уравнение: $2 = \frac{5000}{a^2}$ $2a^2 = 5000$ $a^2 = 2500$

Так как длина стороны $a$ должна быть положительным числом, извлекаем квадратный корень: $a = \sqrt{2500} = 50$ м.

Чтобы убедиться, что при $a = 50$ м периметр будет наименьшим, а не наибольшим, найдем вторую производную: $P''(a) = \left( 2 - 5000a^{-2} \right)' = 10000a^{-3} = \frac{10000}{a^3}$

При $a = 50$, вторая производная $P''(50) = \frac{10000}{50^3} > 0$. Так как вторая производная положительна, точка $a = 50$ является точкой минимума.

Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = \frac{2500}{a} = \frac{2500}{50} = 50$ м.

Таким образом, для того чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки, площадка должна иметь форму квадрата со стороной 50 метров.

Ответ: размеры площадки должны быть 50 м на 50 м.