Номер 46.48, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.48. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

а)

Для решения задачи воспользуемся известным фактом: из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметр равен 56 см: $2(a+b) = 56$ см. Отсюда полупериметр (сумма смежных сторон) равен $a+b = 28$ см.

Чтобы площадь была наибольшей, стороны прямоугольника должны быть равны, то есть $a=b$. Такой прямоугольник является квадратом.

Найдем сторону этого квадрата. Так как $a=b$ и $a+b=28$, то $a+a = 28$, или $2a = 28$.
Отсюда $a = 14$ см.
Следовательно, $b = 14$ см.

Доказательство через производную:
Выразим одну сторону через другую: $b = 28 - a$.
Тогда функция площади от одной переменной $a$ имеет вид: $S(a) = a \cdot (28 - a) = 28a - a^2$.
Чтобы найти максимум этой функции, найдем ее производную и приравняем к нулю:
$S'(a) = (28a - a^2)' = 28 - 2a$.
$S'(a) = 0 \implies 28 - 2a = 0 \implies 2a = 28 \implies a = 14$.
Таким образом, при стороне $a = 14$ см площадь будет максимальной. Вторая сторона $b = 28 - 14 = 14$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 14 см и 14 см.

б)

Данная задача аналогична предыдущей. Прямоугольник с заданным периметром имеет наибольшую площадь, если он является квадратом.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P = 72$ см. $P = 2(a+b)$.

Из условия $2(a+b) = 72$ см, находим полупериметр: $a+b = 36$ см.

Для того чтобы площадь $S = a \cdot b$ была максимальной, необходимо, чтобы стороны были равны: $a=b$.

Подставим это условие в выражение для полупериметра: $a+a = 36$, или $2a = 36$.
Отсюда $a = 18$ см.
Соответственно, $b = 18$ см.

Доказательство через производную:
Выразим $b$ через $a$: $b = 36 - a$.
Функция площади: $S(a) = a \cdot (36 - a) = 36a - a^2$.
Найдем производную и приравняем к нулю:
$S'(a) = (36a - a^2)' = 36 - 2a$.
$S'(a) = 0 \implies 36 - 2a = 0 \implies 2a = 36 \implies a = 18$.
При стороне $a = 18$ см площадь максимальна. Вторая сторона $b = 36 - 18 = 18$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 18 см.