Номер 46.46, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.46. a) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

а)

Пусть одно число равно $x$. По условию, другое число на 36 больше, следовательно, оно равно $x + 36$. Нам нужно найти эти числа при условии, что их произведение принимает наименьшее значение. Составим функцию для их произведения $P(x)$:

$P(x) = x(x + 36) = x^2 + 36x$

Это квадратичная функция. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату $x$ вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находят по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = 36$. Найдем значение $x$, при котором произведение будет наименьшим:

$x = -\frac{36}{2 \cdot 1} = -18$

Это одно из чисел. Найдем второе число:

$x + 36 = -18 + 36 = 18$

Таким образом, искомые числа — это -18 и 18.

Ответ: -18 и 18.

б)

Пусть меньшее из двух чисел равно $x$. Согласно условию, другое число на 28 больше, то есть оно равно $x + 28$. Нам необходимо найти наименьшее значение их произведения. Составим функцию $P(x)$, выражающую это произведение:

$P(x) = x(x + 28) = x^2 + 28x$

Данная функция является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Наименьшее значение функции достигается в вершине этой параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = 1$ и $b = 28$. Вычислим $x$:

$x = -\frac{28}{2 \cdot 1} = -14$

Это меньшее из чисел. Теперь найдем второе, большее число:

$x + 28 = -14 + 28 = 14$

Следовательно, искомые числа — это -14 и 14.

Ответ: -14 и 14.