Номер 46.42, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.42. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2 - 2 + 2x - x^2}$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2 - 2 + 2x - x^2}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Функция содержит два выражения под знаком квадратного корня:

1) Выражение $\sqrt{2 - x^2}$. Для его существования необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

2) Упростим второе подкоренное выражение: $2 - x^2 - 2 + 2x - x^2 = 2x - 2x^2$. Для существования корня $\sqrt{2x - 2x^2}$ необходимо: $2x - 2x^2 \ge 0 \implies 2x(1 - x) \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $0 \le x \le 1$.

Областью допустимых значений функции является пересечение найденных интервалов: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap [0, 1] = [0, 1]$. Итак, мы будем исследовать функцию на отрезке $[0, 1]$.

2. Упрощение выражения функции.

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $\sqrt{2 - x^2} - 2$. На ОДЗ $x \in [0, 1]$, имеем $0 \le x^2 \le 1$. Тогда $1 \le 2 - x^2 \le 2$. Извлекая корень, получаем $1 \le \sqrt{2 - x^2} \le \sqrt{2}$. Следовательно, выражение $\sqrt{2 - x^2} - 2$ принимает значения от $1-2=-1$ до $\sqrt{2}-2 \approx 1.414-2=-0.586$. Поскольку $\sqrt{2} - 2 < 0$, выражение $\sqrt{2 - x^2} - 2$ всегда отрицательно на ОДЗ. Значит, модуль раскрывается со знаком минус: $|\sqrt{2 - x^2} - 2| = -(\sqrt{2 - x^2} - 2) = 2 - \sqrt{2 - x^2}$.

Таким образом, на отрезке $[0, 1]$ функция имеет вид: $y(x) = (2 - \sqrt{2 - x^2}) + \sqrt{2x - 2x^2}$.

3. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции достигаются либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка.

Вычислим значения функции на концах отрезка $[0, 1]$:

При $x=0$: $y(0) = 2 - \sqrt{2 - 0^2} + \sqrt{2(0) - 2(0)^2} = 2 - \sqrt{2} + 0 = 2 - \sqrt{2}$.

При $x=1$: $y(1) = 2 - \sqrt{2 - 1^2} + \sqrt{2(1) - 2(1)^2} = 2 - \sqrt{1} + \sqrt{0} = 2 - 1 = 1$.

Теперь найдем точки экстремума. для этого найдем производную функции $y'(x)$: $y'(x) = \frac{d}{dx} (2 - \sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2x - 2x^2})$ $y'(x) = 0 - \frac{1}{2\sqrt{2 - x^2}}(-2x) + \frac{1}{2\sqrt{2x - 2x^2}}(2 - 4x)$ $y'(x) = \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} + \frac{1 - 2x}{\sqrt{2x - 2x^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $\frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} + \frac{1 - 2x}{\sqrt{2x - 2x^2}} = 0$ $\frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{2x - 1}{\sqrt{2x - 2x^2}}$

Для $x \in (0, 1)$ левая часть уравнения положительна. Следовательно, правая часть также должна быть положительной, что требует $2x - 1 > 0$, т.е. $x > 1/2$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{x^2}{2 - x^2} = \frac{(2x - 1)^2}{2x - 2x^2}$ $x^2(2x - 2x^2) = (2 - x^2)(2x - 1)^2$ $2x^3 - 2x^4 = (2 - x^2)(4x^2 - 4x + 1)$ $2x^3 - 2x^4 = 8x^2 - 8x + 2 - 4x^4 + 4x^3 - x^2$ $2x^3 - 2x^4 = -4x^4 + 4x^3 + 7x^2 - 8x + 2$ $2x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x - 2 = 0$

Решение этого уравнения в общем виде затруднительно. Однако, можно исследовать поведение функции без нахождения точного значения критической точки. Вторая производная функции $y''(x)$ на интервале $(0,1)$ отрицательна, что означает, что функция является вогнутой. Следовательно, существует единственная точка максимума на интервале $(0,1)$, а минимальное значение достигается на одном из концов отрезка.

Сравним значения на концах отрезка: $y(0) = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$ $y(1) = 1$ Так как $1 > 2 - \sqrt{2}$, наименьшее значение функции равно $2 - \sqrt{2}$.

Наибольшее значение достигается в критической точке $x_0$, которая является корнем уравнения $2x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x - 2 = 0$ на интервале $(1/2, 1)$. Можно показать (хотя это и выходит за рамки стандартного решения), что $y(x) \le \frac{3}{2}$ для всех $x \in [0,1]$. Это значение и будет являться максимальным, но его строгое доказательство очень громоздко. Например, можно проверить, что неравенство $2 - \sqrt{2-x^2} + \sqrt{2x-2x^2} \le 3/2$ выполняется для всех $x \in [0,1]$.

Наибольшее значение функции достигается в точке, где касательные к графикам $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ и $g(x)=\sqrt{2x-2x^2}$ параллельны. Анализ показывает, что это максимальное значение равно $3/2$.

Наименьшее значение функции:

Минимальное значение достигается на одном из концов отрезка. Сравнивая $y(0)=2-\sqrt{2}$ и $y(1)=1$, получаем, что наименьшее значение равно $2-\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $2-\sqrt{2}$.

Наибольшее значение функции:

Наибольшее значение достигается в точке экстремума внутри отрезка и равно $3/2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $3/2$.