Номер 46.40, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.40. Докажите, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство: $x^7 + (1 - x)^7 > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Для доказательства данного неравенства найдем наименьшее значение функции $f(x) = x^7 + (1-x)^7$ и сравним его с числом $\frac{\sqrt{2}}{100}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$ для определения точек экстремума:

$f'(x) = (x^7 + (1-x)^7)' = 7x^6 + 7(1-x)^6 \cdot (-1) = 7x^6 - 7(1-x)^6 = 7(x^6 - (1-x)^6)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0 \implies x^6 - (1-x)^6 = 0 \implies x^6 = (1-x)^6$.

Это уравнение равносильно двум случаям для действительных чисел:

1) $x = 1 - x \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

2) $x = -(1 - x) \implies x = -1 + x \implies 0 = -1$, что является ложным равенством и не имеет решений.

Таким образом, единственной критической точкой функции является $x = \frac{1}{2}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума или максимума, найдем вторую производную:

$f''(x) = (7x^6 - 7(1-x)^6)' = 42x^5 - 42(1-x)^5 \cdot (-1) = 42x^5 + 42(1-x)^5 = 42(x^5 + (1-x)^5)$.

Вычислим значение второй производной в критической точке $x = \frac{1}{2}$:

$f''(\frac{1}{2}) = 42 \left( \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(1-\frac{1}{2}\right)^5 \right) = 42 \left( \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(\frac{1}{2}\right)^5 \right) = 42 \left( 2 \cdot \frac{1}{32} \right) = \frac{42}{16} = \frac{21}{8}$.

Так как $f''(\frac{1}{2}) = \frac{21}{8} > 0$, в точке $x = \frac{1}{2}$ функция $f(x)$ достигает своего локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка на всей числовой прямой, этот минимум является глобальным.

Теперь найдем минимальное значение функции:

$f_{min} = f(\frac{1}{2}) = \left(\frac{1}{2}\right)^7 + \left(1-\frac{1}{2}\right)^7 = \left(\frac{1}{2}\right)^7 + \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 2 \cdot \frac{1}{2^7} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$.

Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство $x^7 + (1-x)^7 \ge \frac{1}{64}$.

Осталось доказать, что найденное минимальное значение больше правой части исходного неравенства, то есть $\frac{1}{64} > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Сравним два положительных числа $\frac{1}{64}$ и $\frac{\sqrt{2}}{100}$. Для этого можно сравнить их после приведения к общему знаменателю или использовать перекрестное умножение. Сравним $1 \cdot 100$ и $64 \cdot \sqrt{2}$:

$100$ и $64\sqrt{2}$.

Разделим оба числа на 4:

$25$ и $16\sqrt{2}$.

Возведем оба положительных числа в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$25^2$ и $(16\sqrt{2})^2$.

$625$ и $16^2 \cdot 2 = 256 \cdot 2 = 512$.

Поскольку $625 > 512$, то и $25 > 16\sqrt{2}$, и, следовательно, $\frac{1}{64} > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Итак, мы установили, что для любого $x$ выполняется $x^7 + (1-x)^7 \ge \frac{1}{64}$ и $\frac{1}{64} > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Из этого следует, что $x^7 + (1-x)^7 > \frac{\sqrt{2}}{100}$ при любых значениях $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.