Номер 46.37, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.37. $y = \frac{-2x^2 - 2x - 38}{x^2 + 6x + 34}$.

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{-2x^2 - 2x - 38}{x^2 + 6x + 34}$, которую мы можем обозначить как $E(y)$, рассмотрим данное выражение как уравнение относительно переменной $x$, где $y$ является параметром. Цель состоит в том, чтобы найти все значения $y$, для которых это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение $x$.

В первую очередь, проверим знаменатель дроби $x^2 + 6x + 34$. Найдем его дискриминант:$D_{знам} = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 36 - 136 = -100$.Поскольку дискриминант отрицательный ($D_{знам} < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение в знаменателе $x^2 + 6x + 34$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), и функция является непрерывной на всей числовой оси.

Теперь преобразуем исходное равенство в уравнение относительно $x$:
$y = \frac{-2x^2 - 2x - 38}{x^2 + 6x + 34}$
Умножим обе части на знаменатель (который не равен нулю):
$y(x^2 + 6x + 34) = -2x^2 - 2x - 38$
Перенесем все члены в одну сторону и сгруппируем их по степеням $x$:
$yx^2 + 6yx + 34y + 2x^2 + 2x + 38 = 0$
$(y + 2)x^2 + (6y + 2)x + (34y + 38) = 0$

Это уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты $A, B, C$ зависят от $y$. Оно должно иметь действительные решения для $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.$A = y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$.При $y = -2$ уравнение становится линейным:$(6(-2) + 2)x + (34(-2) + 38) = 0$
$(-12 + 2)x + (-68 + 38) = 0$
$-10x - 30 = 0$
$x = -3$
Мы нашли действительное значение $x=-3$, которое соответствует $y=-2$. Следовательно, $y=-2$ принадлежит множеству значений функции.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.$A = y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2$.В этом случае уравнение является квадратным. Для существования действительных решений его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).$D_x = B^2 - 4AC = (6y + 2)^2 - 4(y + 2)(34y + 38) \ge 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:$(36y^2 + 24y + 4) - 4(34y^2 + 38y + 68y + 76) \ge 0$
$36y^2 + 24y + 4 - 4(34y^2 + 106y + 76) \ge 0$
$36y^2 + 24y + 4 - 136y^2 - 424y - 304 \ge 0$
$-100y^2 - 400y - 300 \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $-100$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:$y^2 + 4y + 3 \le 0$

Для решения полученного квадратного неравенства найдем корни уравнения $y^2 + 4y + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Корни: $y_1 = -3$ и $y_2 = -1$.Парабола $f(y) = y^2 + 4y + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $y^2 + 4y + 3 \le 0$ выполняется для значений $y$, расположенных между корнями (включая сами корни).Таким образом, решение неравенства: $-3 \le y \le -1$.

Объединяя результаты двух случаев, мы видим, что значение $y = -2$ (из случая 1) уже включено в интервал $[-3, -1]$ (из случая 2). Следовательно, полное множество значений функции — это отрезок от $-3$ до $-1$.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = [-3, -1]$.