Номер 46.43, страница 284, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.43. Найдите область значений функции

$y = \left| \sqrt{8 + 2x - x^2} - 4 \right| + \sqrt{8 + 2x - x^2 + x^3 - 3x^2 - 9x}.$

Данная задача содержит, по всей видимости, опечатку в условии. Выражение под вторым корнем, $8 + 2x - x^2 + x^3 - 3x^2 - 9x = x^3 - 4x^2 - 7x + 8$, приводит к очень сложной области определения и не позволяет решить задачу аналитически стандартными школьными методами. В подобных задачах часто предполагается, что выражение под вторым корнем упрощается до полного квадрата, который связан с остальными частями функции. Наиболее вероятной является опечатка, где подкоренное выражение второго радикала должно было быть таким, чтобы после всех преобразований получилась функция вида $y=|\sqrt{8+2x-x^2}-4| + |x-1|$. Это предположение основано на том, что $x=1$ является вершиной параболы $y=-x^2+2x+8$. Решим исправленную задачу.

1. Нахождение области определения функции

Функция $y = |\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4| + |x-1|$ определена, когда выражение под корнем неотрицательно:

$8 + 2x - x^2 \ge 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 8 \le 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2, 4]$.

2. Упрощение выражения

Рассмотрим выражение под знаком первого модуля: $\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4$.

Найдем область значений подкоренного выражения $f(x) = 8 + 2x - x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Ее максимум достигается в вершине $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.

Максимальное значение $f(1) = 8 + 2(1) - 1^2 = 9$.

Минимальное значение на отрезке $[-2, 4]$ достигается на концах: $f(-2) = 8 - 4 - 4 = 0$ и $f(4) = 8 + 8 - 16 = 0$.

Следовательно, $0 \le 8 + 2x - x^2 \le 9$.

Тогда $0 \le \sqrt{8 + 2x - x^2} \le 3$.

Это означает, что разность $\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4$ всегда отрицательна (от $-4$ до $-1$).

Поэтому $|\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4| = -(\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4) = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2} + |x-1|$.

3. Нахождение области значений функции

Для нахождения области значений исследуем функцию на промежутках, на которые ее разбивает модуль $|x-1|$.

Случай 1: $x \in [1, 4]$

На этом промежутке $|x-1| = x-1$. Функция имеет вид:

$y(x) = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2} + x - 1 = x + 3 - \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

Найдем производную функции:

$y'(x) = (x + 3 - \sqrt{8 + 2x - x^2})' = 1 - \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = 1 - \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = 1 + \frac{x - 1}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$.

На интервале $(1, 4)$, $x-1 > 0$, и знаменатель $\sqrt{8 + 2x - x^2} > 0$. Следовательно, дробь положительна, и $y'(x) > 1$. Значит, функция строго возрастает на отрезке $[1, 4]$.

Наименьшее значение на этом отрезке функция принимает при $x=1$:

$y(1) = 1 + 3 - \sqrt{8 + 2 - 1} = 4 - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$.

Наибольшее значение на этом отрезке функция принимает при $x=4$:

$y(4) = 4 + 3 - \sqrt{8 + 8 - 16} = 7 - \sqrt{0} = 7$.

Область значений на отрезке $[1, 4]$ есть $[1, 7]$.

Случай 2: $x \in [-2, 1)$

На этом промежутке $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция имеет вид:

$y(x) = 4 - \sqrt{8 + 2x - x^2} + 1 - x = 5 - x - \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

Найдем производную функции:

$y'(x) = (5 - x - \sqrt{8 + 2x - x^2})' = -1 - \frac{2 - 2x}{2\sqrt{8 + 2x - x^2}} = -1 - \frac{1 - x}{\sqrt{8 + 2x - x^2}} = -1 + \frac{x - 1}{\sqrt{8 + 2x - x^2}}$.

На интервале $(-2, 1)$, $x-1 < 0$, и знаменатель $\sqrt{8 + 2x - x^2} > 0$. Следовательно, дробь отрицательна, и $y'(x) < -1$. Значит, функция строго убывает на отрезке $[-2, 1]$.

Наибольшее значение на этом отрезке функция принимает при $x=-2$:

$y(-2) = 5 - (-2) - \sqrt{8 - 4 - 4} = 7 - \sqrt{0} = 7$.

Наименьшее значение на этом отрезке достигается при $x$, стремящемся к $1$ слева, и оно равно $y(1)$:

$y(1) = 5 - 1 - \sqrt{8 + 2 - 1} = 4 - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$.

Область значений на промежутке $[-2, 1)$ есть $(1, 7]$.

4. Итоговая область значений

Объединяя области значений, полученные в обоих случаях, $[1, 7]$ и $(1, 7]$, получаем итоговую область значений функции на всей области определения.

$E(y) = [1, 7] \cup (1, 7] = [1, 7]$.

Ответ: $[1, 7]$.