Номер 46.39, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

•46.39. a) При каком значении параметра $n$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 2nx + 4n^2 + 3n = 0$ будет наибольшей?

б) При каком значении параметра $n$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + nx + 2n - 1 = 0$ будет наименьшей?

а)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 2nx + 4n^2 + 3n = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни $x_1$ и $x_2$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

$D = b^2 - 4ac = (-2n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4n^2 + 3n) = 4n^2 - 16n^2 - 12n = -12n^2 - 12n$.

Условие $D \ge 0$ равносильно неравенству $-12n^2 - 12n \ge 0$.

Разделим обе части на -12, изменив знак неравенства на противоположный:

$n^2 + n \le 0$

$n(n+1) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $n \in [-1, 0]$. Таким образом, мы будем искать наибольшее значение на этом отрезке.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2n)/1 = 2n$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = (4n^2 + 3n)/1 = 4n^2 + 3n$

Сумма квадратов корней $S$, которую нужно максимизировать, выражается через сумму и произведение корней:

$S(n) = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим выражения из теоремы Виета:

$S(n) = (2n)^2 - 2(4n^2 + 3n) = 4n^2 - 8n^2 - 6n = -4n^2 - 6n$.

Нам нужно найти наибольшее значение функции $S(n) = -4n^2 - 6n$ на отрезке $[-1, 0]$.

График функции $S(n)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $n^2$ равен -4, что меньше нуля). Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем координату вершины $n_v$:

$n_v = -\frac{-6}{2 \cdot (-4)} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку значение $n_v = -3/4$ принадлежит отрезку $[-1, 0]$, именно в этой точке функция $S(n)$ достигает своего наибольшего значения.

Ответ: $n = -3/4$.

б)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + nx + 2n - 1 = 0$.

Условие существования действительных корней — неотрицательность дискриминанта $D$:

$D = b^2 - 4ac = n^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2n - 1) = n^2 - 8n + 4$.

Условие $D \ge 0$ равносильно неравенству $n^2 - 8n + 4 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 8n + 4 = 0$:

$n = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.

Так как парабола $y = n^2 - 8n + 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $n^2 - 8n + 4 \ge 0$ выполняется при $n \in (-\infty, 4 - 2\sqrt{3}] \cup [4 + 2\sqrt{3}, \infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -n/1 = -n$
• $x_1 x_2 = (2n - 1)/1 = 2n - 1$

Сумма квадратов корней $S$, которую нужно минимизировать:

$S(n) = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-n)^2 - 2(2n-1) = n^2 - 4n + 2$.

Нам нужно найти наименьшее значение функции $S(n) = n^2 - 4n + 2$ при условии $n \in (-\infty, 4 - 2\sqrt{3}] \cup [4 + 2\sqrt{3}, \infty)$.

График функции $S(n)$ — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $n^2$ равен 1, что больше нуля). Своего глобального наименьшего значения функция достигает в вершине.

Координата вершины параболы $n_v$:

$n_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Проверим, принадлежит ли $n_v = 2$ допустимой области для $n$.

$4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 2 \cdot 1.732 = 4 - 3.464 = 0.536$.

$4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3.464 = 7.464$.

Так как $4 - 2\sqrt{3} < 2 < 4 + 2\sqrt{3}$, точка $n_v = 2$ не принадлежит допустимой области значений $n$.

Функция $S(n)$ убывает на интервале $(-\infty, 2]$ и возрастает на интервале $[2, \infty)$. Так как вершина параболы находится в "запрещенной" области, наименьшее значение на допустимом множестве будет достигаться в одной из граничных точек этого множества, ближайшей к вершине $n_v=2$.

Сравним расстояние от вершины $n_v=2$ до граничных точек $4 - 2\sqrt{3}$ и $4 + 2\sqrt{3}$:

• $| (4 - 2\sqrt{3}) - 2 | = | 2 - 2\sqrt{3} | = 2\sqrt{3} - 2$
• $| (4 + 2\sqrt{3}) - 2 | = | 2 + 2\sqrt{3} | = 2\sqrt{3} + 2$

Поскольку $2\sqrt{3} - 2 < 2\sqrt{3} + 2$, точка $n = 4 - 2\sqrt{3}$ находится ближе к вершине. Следовательно, именно в этой точке функция $S(n)$ примет свое наименьшее значение на заданной области.

Ответ: $n = 4 - 2\sqrt{3}$.