Номер 46.35, страница 283, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область значений функции:

46.35. a) $y = 2x - \sqrt{16x - 4}, x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right];$

б) $y = 2\sqrt{x} - 1 - 0,5x, x \in [1; 10].$

Для нахождения области значений функции $y = 2x - \sqrt{16x - 4}$ на отрезке $x \in [\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, являются кандидатами на наименьшее и наибольшее значения.

1. Область определения функции задается условием $16x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{4}$. Заданный отрезок $[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$ полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции $y(x)$ для поиска критических точек:

$y' = (2x - \sqrt{16x - 4})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{16x-4}} \cdot (16x-4)' = 2 - \frac{16}{2\sqrt{16x-4}} = 2 - \frac{8}{\sqrt{16x-4}}$.

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$2 - \frac{8}{\sqrt{16x-4}} = 0$

$2 = \frac{8}{\sqrt{16x-4}}$

$\sqrt{16x-4} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$16x-4 = 16$

$16x = 20$

$x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Критическая точка $x = \frac{5}{4}$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4}) - \sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} - 4} = \frac{1}{2} - \sqrt{4-4} = 0.5$.
• $y(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - \sqrt{16 \cdot \frac{5}{4} - 4} = \frac{5}{2} - \sqrt{20-4} = 2.5 - \sqrt{16} = 2.5 - 4 = -1.5$.
• $y(\frac{17}{4}) = 2(\frac{17}{4}) - \sqrt{16 \cdot \frac{17}{4} - 4} = \frac{17}{2} - \sqrt{68-4} = 8.5 - \sqrt{64} = 8.5 - 8 = 0.5$.

5. Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-1.5$, а наибольшее равно $0.5$.

Таким образом, область значений функции $E(y)$ на данном отрезке есть отрезок от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = [-1.5; 0.5]$.

Для нахождения области значений функции $y = 2\sqrt{x-1} - 0.5x$ на отрезке $x \in [1; 10]$, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

1. Область определения функции задается условием $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Заданный отрезок $[1; 10]$ полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (2\sqrt{x-1} - 0.5x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 0.5 = \frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5$.

3. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5 = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x-1}} = 0.5$

$\sqrt{x-1} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 4$

$x = 5$.

Критическая точка $x=5$ принадлежит отрезку $[1; 10]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(1) = 2\sqrt{1-1} - 0.5(1) = 0 - 0.5 = -0.5$.
• $y(5) = 2\sqrt{5-1} - 0.5(5) = 2\sqrt{4} - 2.5 = 4 - 2.5 = 1.5$.
• $y(10) = 2\sqrt{10-1} - 0.5(10) = 2\sqrt{9} - 5 = 6 - 5 = 1$.

5. Сравнивая полученные значения ($-0.5$, $1.5$, $1$), находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-0.5$, а наибольшее равно $1.5$.

Следовательно, область значений функции на данном отрезке — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = [-0.5; 1.5]$.