Номер 46.29, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.29. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения:

а) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 17}$;

б) $y = \sqrt{7(x + 9)(x - 6)}$;

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$;

г) $y = \sqrt{2(x - 4)(x + 8)}$.

а) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 17}$

Данная функция $y = \sqrt{f(x)}$ является композицией двух функций: квадратного корня $g(z) = \sqrt{z}$ и квадратичной функции $f(x) = x^2 - 8x + 17$.

Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей своей области определения ($z \ge 0$). Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при том же значении аргумента $x$, что и наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$, при условии, что это наименьшее значение неотрицательно.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 8x + 17$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Для функции $f(x) = x^2 - 8x + 17$ имеем $a=1$, $b=-8$, $c=17$.

Найдём абсциссу вершины: $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Теперь найдём наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=4$ в $f(x)$:

$f(4) = 4^2 - 8(4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$.

Поскольку наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ равно 1 (положительное число), то наименьшее значение исходной функции $y$ существует и достигается при $x=4$.

Ответ: $4$.

б) $y = \sqrt{7(x+9)(x-6)}$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = 7(x+9)(x-6)$. Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратичной функции:

$f(x) = 7(x^2 - 6x + 9x - 54) = 7(x^2 + 3x - 54) = 7x^2 + 21x - 378$.

Это квадратичная функция с коэффициентом $a=7 > 0$, значит, её график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в вершине.

Абсциссу вершины параболы можно найти как среднее арифметическое корней. Корни уравнения $(x+9)(x-6)=0$ равны $x_1 = -9$ и $x_2 = 6$.

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-9 + 6}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$.

Найдём наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ при $x=-1.5$:

$f(-1.5) = 7(-1.5 + 9)(-1.5 - 6) = 7(7.5)(-7.5) = -393.75$.

Наименьшее значение подкоренного выражения отрицательно. Однако функция $y = \sqrt{f(x)}$ определена только там, где $f(x) \ge 0$.

Найдём область определения функции $y$. Решим неравенство $7(x+9)(x-6) \ge 0$.

Корнями являются $x=-9$ и $x=6$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [6, \infty)$.

В этой области определения мы ищем наименьшее значение функции $y$. Так как $f(x) \ge 0$ на области определения, а функция $\sqrt{z}$ возрастающая, наименьшее значение $y$ будет достигаться там, где $f(x)$ принимает наименьшее возможное неотрицательное значение. В данном случае это значение равно 0.

$f(x) = 0$ при $x=-9$ и $x=6$.

При этих значениях $x$ функция $y$ принимает своё наименьшее значение: $y = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $-9; 6$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$

Подкоренное выражение $f(x) = x^2 + 4x + 10$ является квадратичной функцией. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в вершине.

Найдём абсциссу вершины параболы $f(x)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Вычислим наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=-2$ в $f(x)$:

$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$.

Наименьшее значение подкоренного выражения равно 6, оно положительно. Следовательно, функция $y$ определена для всех действительных $x$, и её наименьшее значение достигается при том же $x$, что и у $f(x)$.

Таким образом, функция $y$ достигает своего наименьшего значения при $x=-2$.

Ответ: $-2$.

г) $y = \sqrt{2(x-4)(x+8)}$

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = 2(x-4)(x+8)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх, так как после раскрытия скобок коэффициент при $x^2$ будет равен 2 (положительный).

$f(x) = 2(x^2 + 8x - 4x - 32) = 2(x^2 + 4x - 32) = 2x^2 + 8x - 64$.

Наименьшее значение функция $f(x)$ принимает в вершине. Абсциссу вершины найдем как среднее арифметическое корней $x_1=4$ и $x_2=-8$.

$x_v = \frac{4 + (-8)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Найдём наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ при $x=-2$:

$f(-2) = 2(-2 - 4)(-2 + 8) = 2(-6)(6) = -72$.

Так как наименьшее значение подкоренного выражения отрицательно, мы должны сначала определить область определения функции $y$. Функция $y$ определена при $f(x) \ge 0$.

Решим неравенство $2(x-4)(x+8) \ge 0$. Корни: $x=4$ и $x=-8$. Поскольку парабола $f(x)$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -8] \cup [4, \infty)$.

На этой области определения наименьшее значение, которое может принимать $f(x)$, равно 0. Это происходит в точках $x=-8$ и $x=4$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{0} = 0$, и оно достигается при $x=-8$ и $x=4$.

Ответ: $-8; 4$.