Номер 46.24, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

46.24. а) $y = x + \frac{1}{x}$, $(-\infty; 0);$

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, $[0; +\infty);$

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, $(0; +\infty);$

г) $y = \sqrt{2x + 6} - x$, $[-3; +\infty).$

а) $y = x + \frac{1}{x}$, на промежутке $(-\infty; 0)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2}$

2. Найдем критические точки функции. Для этого приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Заданному промежутку $(-\infty; 0)$ принадлежит только точка $x = -1$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x = -1$ делит промежуток $(-\infty; 0)$: $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$, $y'(-2) = 1 - \frac{1}{(-2)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 1 - \frac{1}{(-0.5)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = -1$ функция достигает локального максимума.

4. Вычислим значение функции в точке максимума:

$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

5. Исследуем поведение функции на концах промежутка:

$\lim_{x \to -\infty} (x + \frac{1}{x}) = -\infty$

$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = -\infty$

6. Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное -2, и не имеет наименьшего значения, так как она не ограничена снизу на данном промежутке.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = -2$; наименьшего значения не существует.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$, на промежутке $[0; +\infty)$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(3x)'(x^2+3) - 3x(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \frac{3(x^2+3) - 3x(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{3x^2 + 9 - 6x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{9 - 3x^2}{(x^2+3)^2}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$\frac{9 - 3x^2}{(x^2+3)^2} = 0 \implies 9 - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 = 9 \implies x^2 = 3$

Отсюда $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Промежутку $[0; +\infty)$ принадлежит только точка $x = \sqrt{3}$.

3. Определим знаки производной на интервалах $[0; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

• При $x \in [0; \sqrt{3})$, например $x=1$, $y'(1) = \frac{9-3(1)^2}{(1^2+3)^2} = \frac{6}{16} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = \frac{9-3(2)^2}{(2^2+3)^2} = \frac{9-12}{49} < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \sqrt{3}$ функция достигает локального максимума.

4. Вычислим значения функции на левой границе промежутка $x=0$ и в точке максимума $x = \sqrt{3}$.

$y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = 0$

$y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x^2 + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3/x}{1 + 3/x^2} = \frac{0}{1} = 0$

6. Сравнивая полученные значения $0$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$, заключаем, что наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$; наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = -2x - \frac{1}{2x}$, на промежутке $(0; +\infty)$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-2x - \frac{1}{2}x^{-1})' = -2 - \frac{1}{2}(-1)x^{-2} = -2 + \frac{1}{2x^2}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-2 + \frac{1}{2x^2} = 0 \implies \frac{1}{2x^2} = 2 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Промежутку $(0; +\infty)$ принадлежит только точка $x = \frac{1}{2}$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(0; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

• При $x \in (0; \frac{1}{2})$, например $x=0.1$, $y'(0.1) = -2 + \frac{1}{2(0.01)} = -2 + 50 = 48 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$, например $x=1$, $y'(1) = -2 + \frac{1}{2} = -1.5 < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{1}{2}$ функция достигает локального максимума.

4. Вычислим значение функции в точке максимума:

$y(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2(\frac{1}{2})} = -1 - \frac{1}{1} = -2$.

5. Исследуем поведение функции на концах промежутка:

$\lim_{x \to 0^+} (-2x - \frac{1}{2x}) = -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} (-2x - \frac{1}{2x}) = -\infty$

6. Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное -2, и не имеет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = -2$; наименьшего значения не существует.

г) $y = \sqrt{2x+6} - x$, на промежутке $[-3; +\infty)$

1. Область определения функции: $2x+6 \geq 0 \implies x \geq -3$. Заданный промежуток совпадает с областью определения.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\sqrt{2x+6} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+6}} \cdot (2x+6)' - 1 = \frac{2}{2\sqrt{2x+6}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1$

3. Найдем критические точки. Производная не определена при $x = -3$, что является концом промежутка. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{\sqrt{2x+6}} - 1 = 0 \implies \sqrt{2x+6} = 1 \implies 2x+6 = 1 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$

Точка $x = -2.5$ принадлежит промежутку $[-3; +\infty)$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-3; -2.5)$ и $(-2.5; +\infty)$.

• При $x \in (-3; -2.5)$, например $x=-2.75$, $2x+6=0.5$, $\sqrt{0.5} < 1$, значит $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2.5; +\infty)$, например $x=-1$, $2x+6=4$, $\sqrt{4} = 2$, значит $y' = \frac{1}{2}-1 < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x = -2.5$ функция достигает локального максимума.

5. Вычислим значения функции на границе промежутка $x=-3$ и в точке максимума $x = -2.5$.

$y(-3) = \sqrt{2(-3)+6} - (-3) = \sqrt{0} + 3 = 3$

$y(-2.5) = \sqrt{2(-2.5)+6} - (-2.5) = \sqrt{-5+6} + 2.5 = \sqrt{1} + 2.5 = 3.5$

6. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{2x+6} - x) = \lim_{x \to +\infty} x(\sqrt{\frac{2}{x}+\frac{6}{x^2}} - 1) = \infty \cdot (0-1) = -\infty$

7. Сравнивая значения $y(-3)=3$ и $y(-2.5)=3.5$, и учитывая, что функция уходит в $-\infty$, заключаем, что наибольшее значение равно 3.5, а наименьшего не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 3.5$; наименьшего значения не существует.