Номер 46.23, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.23. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

а) $y = x^3 - 2x^2 + 1$, $[0.5; +\infty);$

б) $y = x - 2\sqrt{x}$, $[0; +\infty);$

в) $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$, $(-\infty; 1];$

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$, $(-\infty; +\infty).$

а)

Дана функция $y = x^3 - 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$.

1. Найдем производную функции для определения точек экстремума:

$y' = (x^3 - 2x^2 + 1)' = 3x^2 - 4x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0,5; +\infty)$.

Точка $x_1 = 0$ не принадлежит промежутку, так как $0 < 0,5$.

Точка $x_2 = \frac{4}{3}$ принадлежит промежутку, так как $\frac{4}{3} \approx 1,33 > 0,5$.

4. Вычислим значения функции на левой границе промежутка $x = 0,5$ и в критической точке $x = \frac{4}{3}$, которая попадает в промежуток.

Значение на границе:

$y(0,5) = (0,5)^3 - 2(0,5)^2 + 1 = 0,125 - 2 \cdot 0,25 + 1 = 0,125 - 0,5 + 1 = 0,625$.

Значение в критической точке:

$y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + 1 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 1 = \frac{64 - 96 + 27}{27} = -\frac{5}{27}$.

5. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 2x^2 + 1) = +\infty$.

Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнивая вычисленные значения $y(0,5) = 0,625$ и $y(\frac{4}{3}) = -\frac{5}{27}$, находим наименьшее. Так как $-\frac{5}{27} < 0,625$, наименьшее значение функции равно $-\frac{5}{27}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{5}{27}$, наибольшего значения не существует.

б)

Дана функция $y = x - 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$.

1. Найдем производную функции. Область определения производной $x > 0$.

$y' = (x - 2\sqrt{x})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

2. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Также к критическим точкам относится точка $x=0$, в которой производная не определена (но функция определена).

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=1$, принадлежат промежутку $[0; +\infty)$.

4. Вычислим значения функции в этих точках.

При $x=0$:

$y(0) = 0 - 2\sqrt{0} = 0$.

При $x=1$:

$y(1) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 = -1$.

5. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (x - 2\sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}(\sqrt{x}-2) = +\infty$.

Поскольку функция неограниченно возрастает, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнивая значения $y(0)=0$ и $y(1)=-1$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -1.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшего значения не существует.

в)

Дана функция $y = \frac{1}{5}x^5 - x^2$ на промежутке $(-\infty; 1]$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{1}{5}x^5 - x^2)' = x^4 - 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^4 - 2x = 0$

$x(x^3 - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[3]{2}$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 1]$.

Точка $x_1 = 0$ принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = \sqrt[3]{2} \approx 1,26$ не принадлежит промежутку, так как $1,26 > 1$.

4. Вычислим значения функции на правой границе промежутка $x = 1$ и в критической точке $x = 0$.

Значение на границе:

$y(1) = \frac{1}{5}(1)^5 - (1)^2 = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}$.

Значение в критической точке:

$y(0) = \frac{1}{5}(0)^5 - (0)^2 = 0$.

5. Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{5}x^5 - x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^5(\frac{1}{5} - \frac{1}{x^3}) = -\infty$.

Поскольку функция неограниченно убывает, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнивая вычисленные значения $y(1) = -0,8$ и $y(0) = 0$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 0.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(x^4)'(x^4+1) - x^4(x^4+1)'}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3(x^4+1) - x^4(4x^3)}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^7 + 4x^3 - 4x^7}{(x^4+1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4+1)^2}$.

2. Найдем критические точки. Производная существует при всех $x$. Приравняем ее к нулю:

$\frac{4x^3}{(x^4+1)^2} = 0 \implies 4x^3 = 0 \implies x = 0$.

Единственная критическая точка — $x=0$.

3. Вычислим значение функции в этой точке:

$y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = \frac{0}{1} = 0$.

4. Определим знак производной на интервалах. Знаменатель $(x^4+1)^2$ всегда положителен. Знак $y'$ зависит от знака $4x^3$.

При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего минимума. Это наименьшее значение на всей числовой прямой.

5. Исследуем поведение функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x^4(1 + \frac{1}{x^4})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^4}} = \frac{1}{1+0} = 1$.

Функция стремится к 1, но никогда ее не достигает, так как для любого действительного $x$ числитель $x^4$ строго меньше знаменателя $x^4 + 1$. Таким образом, у функции есть точная верхняя грань (супремум), равная 1, но нет наибольшего значения (максимума).

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = 0$, наибольшего значения не существует.