Номер 46.20, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.20. a) $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$, $[0; 4];$

б) $y = |x^3 - 1| - 3x$, $[-1; 3].$

a)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x|$ на отрезке $[0; 4]$.

Для этого сначала раскроем модуль $|1 - x|$. Выражение под модулем $1 - x$ обращается в ноль при $x = 1$. Эта точка разбивает отрезок $[0; 4]$ на два промежутка: $[0; 1]$ и $(1; 4]$.

1. Если $x \in [0; 1]$, то $1 - x \ge 0$, и $|1 - x| = 1 - x$. Функция принимает вид:

$y = x^2 - 4x + 5 + (1 - x) = x^2 - 5x + 6$.

2. Если $x \in (1; 4]$, то $1 - x < 0$, и $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$. Функция принимает вид:

$y = x^2 - 4x + 5 + (x - 1) = x^2 - 3x + 4$.

Таким образом, мы имеем дело с кусочно-заданной функцией:

$y(x) = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } x \in [0; 1] \\ x^2 - 3x + 4, & \text{если } x \in (1; 4] \end{cases}$

Для нахождения экстремумов на отрезке $[0; 4]$ необходимо найти значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Найдем производную на каждом из интервалов:

$y'(x) = \begin{cases} 2x - 5, & \text{если } x \in (0; 1) \\ 2x - 3, & \text{если } x \in (1; 4) \end{cases}$

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В точке $x=1$ производная не существует (это точка излома), поэтому $x=1$ – критическая точка.

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

На интервале $(0; 1)$: $2x - 5 = 0 \implies x = 2.5$. Эта точка не принадлежит интервалу $(0; 1)$.

На интервале $(1; 4)$: $2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(1; 4)$, значит, $x=1.5$ – критическая точка.

Теперь вычислим значения функции в критических точках ($x=1$, $x=1.5$) и на концах заданного отрезка ($x=0$, $x=4$):

$y(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6$

$y(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 2$

$y(1.5) = (1.5)^2 - 3 \cdot (1.5) + 4 = 2.25 - 4.5 + 4 = 1.75$

$y(4) = 4^2 - 3 \cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$

Сравнивая полученные значения $\{6; 2; 1.75; 8\}$, находим, что наименьшее значение функции равно $1.75$, а наибольшее – $8$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно $1.75$, а наибольшее значение равно $8$.

б)

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x^3 - 1| - 3x$ на отрезке $[-1; 3]$.

Раскроем модуль $|x^3 - 1|$. Выражение $x^3 - 1$ равно нулю при $x^3=1$, то есть при $x=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

1. Если $x \in [-1; 1]$, то $x^3 - 1 \le 0$, и $|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) = 1 - x^3$. Функция принимает вид:

$y = (1 - x^3) - 3x = -x^3 - 3x + 1$.

2. Если $x \in (1; 3]$, то $x^3 - 1 > 0$, и $|x^3 - 1| = x^3 - 1$. Функция принимает вид:

$y = (x^3 - 1) - 3x = x^3 - 3x - 1$.

Функция является кусочно-заданной:

$y(x) = \begin{cases} -x^3 - 3x + 1, & \text{если } x \in [-1; 1] \\ x^3 - 3x - 1, & \text{если } x \in (1; 3] \end{cases}$

Для нахождения экстремумов на отрезке $[-1; 3]$ найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Найдем производную на каждом из интервалов:

$y'(x) = \begin{cases} -3x^2 - 3, & \text{если } x \in (-1; 1) \\ 3x^2 - 3, & \text{если } x \in (1; 3) \end{cases}$

В точке $x=1$ производная не существует, так как левая и правая производные не равны, следовательно, $x=1$ является критической точкой.

Найдем стационарные точки:

На интервале $(-1; 1)$: $-3x^2 - 3 = 0 \implies -3(x^2 + 1) = 0$. Уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2+1$ всегда больше нуля.

На интервале $(1; 3)$: $3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x = \pm 1$. Эти точки не принадлежат интервалу $(1; 3)$.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нужно вычислить ее значения только на концах отрезка $[-1; 3]$ и в точке излома $x=1$.

$y(-1) = |(-1)^3 - 1| - 3(-1) = |-1 - 1| + 3 = |-2| + 3 = 2 + 3 = 5$

$y(1) = |1^3 - 1| - 3(1) = |0| - 3 = 0 - 3 = -3$

$y(3) = |3^3 - 1| - 3(3) = |27 - 1| - 9 = 26 - 9 = 17$

Сравнивая полученные значения $\{5; -3; 17\}$, находим, что наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее – $17$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $-3$, а наибольшее значение равно $17$.