Номер 46.17, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.17. a) $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$, $[-3; 0];$

б) $y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 9$, $[0; 4];$

в) $y = 4x^3 - 21x^2 + 36x - 2$, $[1; 2];$

г) $y = 0,25x^4 - 2\frac{1}{3}x^3 + 3,5$, $[-1; 2].$

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$ на отрезке $[-3; 0]$ используется стандартный алгоритм.
Первый шаг — нахождение производной функции:
$y' = (x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21)' = 4x^3 + 24x^2 + 48x + 32$.
Далее, находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 + 24x^2 + 48x + 32 = 0$
Разделив на 4, получаем: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 0$.
Левая часть уравнения является формулой куба суммы: $(x+2)^3 = 0$.
Отсюда, единственная критическая точка функции: $x = -2$.
Эта точка принадлежит заданному отрезку $[-3; 0]$.
Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:
$y(-3) = (-3)^4 + 8(-3)^3 + 24(-3)^2 + 32(-3) + 21 = 81 - 216 + 216 - 96 + 21 = 6$.
$y(-2) = (-2)^4 + 8(-2)^3 + 24(-2)^2 + 32(-2) + 21 = 16 - 64 + 96 - 64 + 21 = 5$.
$y(0) = 0^4 + 8(0)^3 + 24(0)^2 + 32(0) + 21 = 21$.
Сравнивая полученные значения ($5, 6, 21$), заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 5, а наибольшее — 21.
Ответ: наименьшее значение функции 5, наибольшее значение 21.

б) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 9$ на отрезке $[0; 4]$.
1. Найдем производную функции:
$y' = (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x - 9)' = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$:
$4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 0$
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$
Это формула куба разности: $(x-1)^3 = 0$.
Единственная критическая точка: $x=1$.
3. Точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.
4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:
$y(0) = 0 - 0 + 0 - 0 - 9 = -9$.
$y(1) = 1^4 - 4(1)^3 + 6(1)^2 - 4(1) - 9 = 1 - 4 + 6 - 4 - 9 = -10$.
$y(4) = 4^4 - 4(4)^3 + 6(4)^2 - 4(4) - 9 = 256 - 256 + 96 - 16 - 9 = 71$.
5. Сравнивая значения ($-10, -9, 71$), находим, что наименьшее значение равно -10, а наибольшее — 71.
Ответ: наименьшее значение функции -10, наибольшее значение 71.

в) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = 4x^3 - 21x^2 + 36x - 2$ на отрезке $[1; 2]$.
1. Найдем производную функции:
$y' = (4x^3 - 21x^2 + 36x - 2)' = 12x^2 - 42x + 36$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$:
$12x^2 - 42x + 36 = 0$
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
3. Обе критические точки, $x=1.5$ и $x=2$, принадлежат отрезку $[1; 2]$ (точка $x=2$ является его правым концом).
4. Вычислим значения функции в точке $x=1.5$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=2$:
$y(1) = 4(1)^3 - 21(1)^2 + 36(1) - 2 = 4 - 21 + 36 - 2 = 17$.
$y(1.5) = 4(1.5)^3 - 21(1.5)^2 + 36(1.5) - 2 = 4(3.375) - 21(2.25) + 54 - 2 = 13.5 - 47.25 + 52 = 18.25$.
$y(2) = 4(2)^3 - 21(2)^2 + 36(2) - 2 = 32 - 84 + 72 - 2 = 18$.
5. Сравнивая значения ($17, 18.25, 18$), получаем, что наименьшее значение равно 17, а наибольшее — 18.25.
Ответ: наименьшее значение функции 17, наибольшее значение 18,25.

г) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = 0.25x^4 - 2\frac{1}{3}x^3 + 3.5$ на отрезке $[-1; 2]$.
Для удобства представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей: $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{7}{3}x^3 + \frac{7}{2}$.
1. Найдем производную:
$y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{7}{3}x^3 + \frac{7}{2})' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{7}{3} \cdot 3x^2 = x^3 - 7x^2$.
2. Найдем критические точки из уравнения $y'=0$:
$x^3 - 7x^2 = 0$
$x^2(x - 7) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
3. Отрезку $[-1; 2]$ принадлежит только точка $x=0$. Точка $x=7$ не принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$:
$y(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{7}{3}(-1)^3 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{3} + \frac{7}{2} = \frac{3 + 28 + 42}{12} = \frac{73}{12}$.
$y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{7}{3}(0)^3 + \frac{7}{2} = \frac{7}{2}$.
$y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{7}{3}(2)^3 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4}(16) - \frac{7}{3}(8) + \frac{7}{2} = 4 - \frac{56}{3} + \frac{7}{2} = \frac{24 - 112 + 21}{6} = -\frac{67}{6}$.
5. Сравним полученные значения. Для этого приведем их к общему знаменателю 12:
$y(-1) = \frac{73}{12}$
$y(0) = \frac{7}{2} = \frac{42}{12}$
$y(2) = -\frac{67}{6} = -\frac{134}{12}$
Наименьшее значение — $-\frac{134}{12}$ (то есть $-\frac{67}{6}$), а наибольшее — $\frac{73}{12}$.
Ответ: наименьшее значение функции $-\frac{67}{6}$, наибольшее значение $\frac{73}{12}$.