Номер 46.21, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.21. a) $y = \sin^3 x + \cos^3 x, \left[0; \frac{\pi}{2}\right];$

б) $y = \sin^5 x - \cos^5 x, \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right].$

a)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, воспользуемся алгоритмом нахождения экстремумов функции на отрезке.

1. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (\sin^3 x + \cos^3 x)' = 3\sin^2 x \cdot (\sin x)' + 3\cos^2 x \cdot (\cos x)' = 3\sin^2 x \cos x - 3\cos^2 x \sin x$.

Вынесем общий множитель $3\sin x \cos x$ за скобки:

$y' = 3\sin x \cos x (\sin x - \cos x)$.

2. Найдем критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$3\sin x \cos x (\sin x - \cos x) = 0$.

Это уравнение дает три случая:

• $\sin x = 0$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ решением является $x=0$.
• $\cos x = 0$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ решением является $x=\frac{\pi}{2}$.
• $\sin x - \cos x = 0$, что эквивалентно $\sin x = \cos x$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ это выполняется при $x=\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, у нас есть три точки для проверки: $0$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$.

3. Вычислим значения функции в этих точках:

При $x=0$:

$y(0) = \sin^3(0) + \cos^3(0) = 0^3 + 1^3 = 1$.

При $x=\frac{\pi}{4}$:

$y(\frac{\pi}{4}) = \sin^3(\frac{\pi}{4}) + \cos^3(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^3 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^3 = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $x=\frac{\pi}{2}$:

$y(\frac{\pi}{2}) = \sin^3(\frac{\pi}{2}) + \cos^3(\frac{\pi}{2}) = 1^3 + 0^3 = 1$.

4. Сравнивая полученные значения ($1$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$), находим наибольшее и наименьшее. Так как $1 > \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = 1$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $y_{наиб} = 1$, $y_{наим} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin^5 x - \cos^5 x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

1. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (\sin^5 x - \cos^5 x)' = 5\sin^4 x \cdot (\sin x)' - 5\cos^4 x \cdot (\cos x)' = 5\sin^4 x \cos x - 5\cos^4 x (-\sin x) = 5\sin^4 x \cos x + 5\cos^4 x \sin x$.

Вынесем общий множитель $5\sin x \cos x$ за скобки:

$y' = 5\sin x \cos x (\sin^3 x + \cos^3 x)$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$5\sin x \cos x (\sin^3 x + \cos^3 x) = 0$.

Рассмотрим три случая на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$:

• $\sin x = 0$. На данном отрезке это выполняется при $x=0$.
• $\cos x = 0$. На данном отрезке это выполняется при $x=-\frac{\pi}{2}$.
• $\sin^3 x + \cos^3 x = 0$, что эквивалентно $\sin^3 x = -\cos^3 x$, или $\tan^3 x = -1$. Отсюда $\tan x = -1$, и на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ решением является $x = -\frac{\pi}{4}$.

Точки для проверки: $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{4}$ и $0$.

3. Вычислим значения функции в этих точках:

При $x=-\frac{\pi}{2}$:

$y(-\frac{\pi}{2}) = \sin^5(-\frac{\pi}{2}) - \cos^5(-\frac{\pi}{2}) = (-1)^5 - 0^5 = -1$.

При $x=-\frac{\pi}{4}$:

$y(-\frac{\pi}{4}) = \sin^5(-\frac{\pi}{4}) - \cos^5(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^5 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^5 = -2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^5 = -2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{32} = -\frac{8\sqrt{2}}{32} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

При $x=0$:

$y(0) = \sin^5(0) - \cos^5(0) = 0^5 - 1^5 = -1$.

4. Сравниваем полученные значения: $-1$ и $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{\sqrt{2}}{4} \approx -0.3535$. Очевидно, что $-0.3535 > -1$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$.

Ответ: $y_{наиб} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $y_{наим} = -1$.