Номер 46.25, страница 282, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.25. a) $y = x^3 - 3x$, $(-\infty, 0];$

Б) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$, $[0; +\infty);$

В) $y = x^3 - 3x$, $[0; +\infty);$

Г) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$, $(-\infty; 0].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x$ на промежутке $(-\infty; 0]$ исследуем ее с помощью производной.

1. Найдём производную функции:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 0]$.

Точка $x_1 = 1$ не принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = -1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

$y(0) = 0^3 - 3(0) = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x) = -\infty$

Поскольку при $x \to -\infty$ функция стремится к $-\infty$, наименьшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнив вычисленные значения $y(-1)=2$ и $y(0)=0$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 2.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$, наименьшего значения не существует.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $[0; +\infty)$ исследуем ее с помощью производной.

1. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \left(\frac{x}{x^4 + 3}\right)' = \frac{(x)'(x^4 + 3) - x(x^4 + 3)'}{(x^4 + 3)^2} = \frac{1 \cdot (x^4 + 3) - x \cdot (4x^3)}{(x^4 + 3)^2} = \frac{x^4 + 3 - 4x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3 - 3x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3(1 - x^4)}{(x^4 + 3)^2}$

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 3(1 - x^4) = 0 \Rightarrow x^4 = 1$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; +\infty)$.

Точка $x_1 = 1$ принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ не принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = 1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(1) = \frac{1}{1^4 + 3} = \frac{1}{4}$

$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^4 + 3} = 0$

6. Сравним полученные значения: $y(1) = 1/4$, $y(0) = 0$ и предел на бесконечности, равный 0. Наибольшее значение равно $1/4$, а наименьшее равно $0$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{4}$, наименьшее значение $y_{наим} = 0$.

В)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x$ на промежутке $[0; +\infty)$ исследуем ее с помощью производной.

1. Производная функции: $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

2. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; +\infty)$.

Точка $x_1 = 1$ принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ не принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = 1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$y(0) = 0^3 - 3(0) = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x) = +\infty$

Поскольку при $x \to +\infty$ функция стремится к $+\infty$, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

6. Сравнив вычисленные значения $y(1)=-2$ и $y(0)=0$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -2.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшего значения не существует.

г)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $(-\infty; 0]$ исследуем ее с помощью производной.

1. Производная функции: $y' = \frac{3(1 - x^4)}{(x^4 + 3)^2}$.

2. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 0]$.

Точка $x_1 = 1$ не принадлежит промежутку.

Точка $x_2 = -1$ принадлежит промежутку.

4. Вычислим значение функции в критической точке $x = -1$ и на границе промежутка $x = 0$.

$y(-1) = \frac{-1}{(-1)^4 + 3} = \frac{-1}{1+3} = -\frac{1}{4}$

$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = 0$

5. Определим поведение функции на бесконечности.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^4 + 3} = 0$

6. Сравним полученные значения: $y(-1) = -1/4$, $y(0) = 0$ и предел на бесконечности, равный 0. Наибольшее значение равно $0$, а наименьшее равно $-1/4$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, наименьшее значение $y_{наим} = -\frac{1}{4}$.